Determine a intersecção da qrádrica \frac{x^{2}}{4}-y^{2}+z^{2}=1 com os planos indicados e faça um esboço da curva obtida.
y=0

Passo 1

O enunciado pede a interseção da quádricas
\frac{x^{2}}{4}-y^{2}+z^{2}=1
com o plano y=0. Para isso, vamos usar o método de substituição: basta colocar y=0 na equação da quádricas e analisar o tipo de curva que surge no plano y=0.

Passo 2

Substituindo y=0 em \frac{x^{2}}{4}-y^{2}+z^{2}=1 obtemos
\frac{x^{2}}{4}+z^{2}=1.
Esta é a equação de uma elipse no plano y=0.

Passo 3

Reconhecemos a forma canônica de elipse:
\frac{x^{2}}{2^{2}}+\frac{z^{2}}{1^{2}}=1.
O centro está em (0,0,0) (no plano y=0), o semi-eixo em x tem comprimento 2 (intercepta em (\pm2,0,0)) e o semi-eixo em z tem comprimento 1 (intercepta em (0,0,\pm1)). O esboço é uma elipse horizontal no plano y=0.

Resposta

A intersecção é a elipse dada por
\frac{x^{2}}{4}+z^{2}=1
no plano y=0, com semi-eixos 2 em x e 1 em z.

Exercícios relacionados