Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências
Informações dadas que vamos usar:
- Os coeficientes da série são
. - A série está centrada em
(é uma série em potências de ). - Precisamos achar o raio de convergência
e determinar o comportamento nos extremos e .
Passo 2
Primeiro vamos achar o raio de convergência
. Uma fórmula prática é
onde
são os coeficientes da série em potência. Aqui
. Calculo
Para achar o limite desta expressão note que
portanto
. Assim
e pelo fórmula do raio
Interpretação: a série converge, no mínimo, para todo
; para
diverge. Faltam os testes nos pontos
.
Passo 3
Para qualquer
com
podemos estudar a convergência absoluta da série analisando
Aplicando o teste da raiz (novamente) a esta série:
Se
essa limite é menor que
, logo a série dos módulos converge. Conclusão: a série original converge absolutamente para todo
tal que
.
Passo 4
Agora testar o extremo
. Substituindo
obtemos a série
Este é um série alternada da forma
com
. Vou aplicar o Teste de Leibniz (Teste da Série Alternada):
Teste de Leibniz (enunciado prático):
Se ,
é monotonicamente decrescente e
quando
, então
converge.
Se
Verificações:
-
para todo . -
é decrescente: para , . -
.
Portanto, por Leibniz, a série em
converge. Porém não é absolutamente convergente, porque a série dos módulos é
que é uma série
-séria com
, logo diverge. Conclusão: em
há convergência condicional.
Passo 5
Testar o extremo
. Substituindo
obtemos
Como
é ímpar,
para todo
. Então a série fica
A série
é divergent (p-série com
), então a série original em
diverge. Portanto
não pertence ao intervalo de convergência.
Passo 6
Reunindo tudo:
- Raio de convergência
. - Converge absolutamente para
. - Em
converge condicionalmente. - Em
diverge.
Resposta
Raio de convergência:
.
Intervalo de convergência: (convergência absoluta para
; condicional em
; divergente em
).
Intervalo de convergência: