Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}} x^{n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}} x^{n}.
Informações dadas que vamos usar:
  • Os coeficientes da série são a_n=\dfrac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}.
  • A série está centrada em 0 (é uma série em potências de x).
  • Precisamos achar o raio de convergência R e determinar o comportamento nos extremos x=1 e x=-1.

Passo 2

Primeiro vamos achar o raio de convergência R. Uma fórmula prática é
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\root n\of{|a_n|}},
onde a_n são os coeficientes da série em potência. Aqui |a_n|=\dfrac{1}{\sqrt{n}}. Calculo
\root n\of{|a_n|}=\root n\of{\dfrac{1}{\sqrt{n}}}=n^{-1/(2n)}.
Para achar o limite desta expressão note que
\ln\big(n^{-1/(2n)}\big)=-\frac{1}{2n}\ln n \xrightarrow[n\to\infty]{}0,
portanto n^{-1/(2n)}\to e^{0}=1. Assim
\limsup_{n\to\infty}\root n\of{|a_n|}=1
e pelo fórmula do raio
R=\frac{1}{1}=1.
Interpretação: a série converge, no mínimo, para todo |x|<1; para |x|>1 diverge. Faltam os testes nos pontos x=\pm1.

Passo 3

Para qualquer x com |x|<1 podemos estudar a convergência absoluta da série analisando
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n||x|^n=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}|x|^{n}.
Aplicando o teste da raiz (novamente) a esta série:
\root n\of{\frac{1}{\sqrt{n}}|x|^{n}}=n^{-1/(2n)}|x| \xrightarrow[n\to\infty]{}|x|.
Se |x|<1 essa limite é menor que 1, logo a série dos módulos converge. Conclusão: a série original converge absolutamente para todo x tal que |x|<1.

Passo 4

Agora testar o extremo x=1. Substituindo x=1 obtemos a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}.
Este é um série alternada da forma \sum (-1)^{n-1} b_n com b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}. Vou aplicar o Teste de Leibniz (Teste da Série Alternada):
Teste de Leibniz (enunciado prático):
Se b_n\ge0, b_n é monotonicamente decrescente e b_n\to0 quando n\to\infty, então \sum (-1)^{n-1} b_n converge.
Verificações:
  • b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}>0 para todo n.
  • b_n é decrescente: para n\ge1, \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}<\dfrac{1}{\sqrt{n}}.
  • \lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0.
Portanto, por Leibniz, a série em x=1 converge. Porém não é absolutamente convergente, porque a série dos módulos é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}},
que é uma série p-séria com p=\tfrac{1}{2}\le1, logo diverge. Conclusão: em x=1 há convergência condicional.

Passo 5

Testar o extremo x=-1. Substituindo x=-1 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}(-1)^{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{2n-1}}{\sqrt{n}}.
Como 2n-1 é ímpar, (-1)^{2n-1}=-1 para todo n. Então a série fica
\sum_{n=1}^{\infty} -\frac{1}{\sqrt{n}} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}.
A série \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}} é divergent (p-série com p=\tfrac{1}{2}\le1), então a série original em x=-1 diverge. Portanto x=-1 não pertence ao intervalo de convergência.

Passo 6

Reunindo tudo:
  • Raio de convergência R=1.
  • Converge absolutamente para |x|<1.
  • Em x=1 converge condicionalmente.
  • Em x=-1 diverge.

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: (-1,1] (convergência absoluta para |x|<1; condicional em x=1; divergente em x=-1).

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