A7: Verifique se a sequência de termos
é crescente, decrescente ou não monótona.
Passo 1
O enunciado dá a sequência de termos
e pede para determinar se essa sequência é crescente, decrescente ou não monótona.
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- A sequência está indexada por
(assumir , começando em ). - Queremos a monotonicidade: comparar
com para todo .
Passo 2
Estratégia que vamos usar (sem resolver ainda): a forma mais direta é analisar o quociente
Se
para todo
então a sequência é estritamente decrescente; se
para todo
então é estritamente crescente; se
muda de sinal em relação a
ou não tem um comportamento fixo, a sequência não é monótona. Vou calcular
e simplificá-lo.
Passo 3
Primeiro simplificar
escrevendo o numerador por uma expressão mais conhecida. Usa-se a identidade que relaciona o fatorial com o produto dos inteiros pares e ímpares:
Dessa identidade segue que
Substituindo isso em
obtemos
Reconhecendo o coeficiente binomial central
, podemos escrever de forma compacta
Passo 4
Agora calculamos o quociente
. Usando a forma com binomial,
Expresse
em termos de
:
Substituindo na expressão de
,
Como
, simplifica-se:
Passo 5
Analisar
. Para todo
(e na verdade para todo
) temos
logo
Além disso, a desigualdade é estrita, então
para todo
. Portanto
o que significa que a sequência
é estritamente decrescente.
Para dar uma intuição numérica rápida:
e
, então já vemos
, coerente com o resultado.
Passo 6
Conclusão final e comentário: pela comparação do quociente
com
obtemos monotonicidade estrita decrescente. (Observação extra: como
por aproximação de Stirling,
e portanto
quando
, decrescendo para
.)
Resposta
A sequência é estritamente decrescente.