A7: Verifique se a sequência de termos
a_{n}=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}{2^{n} n!}
é crescente, decrescente ou não monótona.

Passo 1

O enunciado dá a sequência de termos
a_{n}=\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2^{n}n!}
e pede para determinar se essa sequência é crescente, decrescente ou não monótona.
Informações relevantes do enunciado:
  • A sequência está indexada por n (assumir n\in\mathbb{N}, começando em n=1).
  • Queremos a monotonicidade: comparar a_{n+1} com a_n para todo n.

Passo 2

Estratégia que vamos usar (sem resolver ainda): a forma mais direta é analisar o quociente
r_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}.
Se r_n<1 para todo n então a sequência é estritamente decrescente; se r_n>1 para todo n então é estritamente crescente; se r_n muda de sinal em relação a 1 ou não tem um comportamento fixo, a sequência não é monótona. Vou calcular r_n e simplificá-lo.

Passo 3

Primeiro simplificar a_n escrevendo o numerador por uma expressão mais conhecida. Usa-se a identidade que relaciona o fatorial com o produto dos inteiros pares e ímpares:
(2n)! = 2^n n!\,(1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)).
Dessa identidade segue que
1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)=\frac{(2n)!}{2^n n!}.
Substituindo isso em a_n obtemos
a_n=\frac{\dfrac{(2n)!}{2^n n!}}{2^{n}n!}=\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}.
Reconhecendo o coeficiente binomial central \binom{2n}{n}=\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}, podemos escrever de forma compacta
a_n=\frac{1}{4^{n}}\binom{2n}{n}.

Passo 4

Agora calculamos o quociente r_n=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Usando a forma com binomial,
r_n=\frac{\dfrac{1}{4^{\,n+1}}\binom{2n+2}{\,n+1}}{\dfrac{1}{4^{\,n}}\binom{2n}{n}} =\frac{1}{4}\cdot\frac{\binom{2n+2}{\,n+1}}{\binom{2n}{n}}.
Expresse \binom{2n+2}{n+1} em termos de \binom{2n}{n}:
\binom{2n+2}{n+1} =\frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(n+1)^2(n!)^2} =\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}\binom{2n}{n}.
Substituindo na expressão de r_n,
r_n=\frac{1}{4}\cdot\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}.
Como 2n+2=2(n+1), simplifica-se:
r_n=\frac{1}{4}\cdot\frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^2} =\frac{2n+1}{2(n+1)}.

Passo 5

Analisar \;r_n=\dfrac{2n+1}{2(n+1)}. Para todo n\ge1 (e na verdade para todo n\ge0) temos
2n+1<2n+2=2(n+1),
logo
r_n=\frac{2n+1}{2(n+1)}<1.
Além disso, a desigualdade é estrita, então r_n<1 para todo n. Portanto
a_{n+1}=r_n a_n < a_n,
o que significa que a sequência (a_n) é estritamente decrescente.
Para dar uma intuição numérica rápida: \;a_1=\dfrac{1}{2}=0,5 e \;a_2=\dfrac{1\cdot3}{2^2\cdot2!}=\dfrac{3}{8}=0,375, então já vemos a_2<a_1, coerente com o resultado.

Passo 6

Conclusão final e comentário: pela comparação do quociente r_n com 1 obtemos monotonicidade estrita decrescente. (Observação extra: como \binom{2n}{n}\sim\dfrac{4^n}{\sqrt{\pi n}} por aproximação de Stirling, a_n=\dfrac{1}{4^n}\binom{2n}{n}\sim\dfrac{1}{\sqrt{\pi n}} e portanto a_n\to0 quando n\to\infty, decrescendo para 0.)

Resposta

A sequência é estritamente decrescente.

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