Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n+1}(x-5)^{n}
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências centrada em 5
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n+1}(x-5)^{n}.
Informações dadas e o que devemos encontrar:
É uma série de potências em torno de x=5.
Os coeficientes são a_n=\dfrac{\ln n}{n+1}.
Precisamos determinar o raio de convergência R e testar os pontos extremos x=5\pm R para saber se devem ser incluídos no intervalo.
Passo 2
Escolha do método para achar o raio: para séries de potências o procedimento standard é usar o teste da razão ou o teste da raiz. Aqui o teste da razão fica bem simples. Vou aplicar o teste da razão à sequência dos termos gerais c_n=a_n(x-5)^n com a_n=\dfrac{\ln n}{n+1}.
Explicação do teste da razão (mini-aula curta): o teste da razão diz que, para uma série de termos c_n, se
Pelo teste da razão a série converge se |x-5|<1 e diverge se |x-5|>1. Assim o raio de convergência é R=1 e a convergência ocorre, pelo menos, para x no intervalo aberto
Queremos saber se essa série de termos positivos converge. Compare com a série \sum \dfrac{\ln n}{n}. Uso o teste da comparação limite (mini-aula curta): se \lim_{n\to\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=L com 0<L<\infty, então u_n e v_n têm o mesmo comportamento de convergência.
Como \sum \dfrac{\ln n}{n} diverge (pode-se ver pelo integral \int \frac{\ln x}{x}\,dx=\tfrac{1}{2}(\ln x)^2 que tende a +\infty), conclui-se que \sum \dfrac{\ln n}{n+1} também diverge. Logo em x=6 a série diverge (não é incluído).
Passo 4
Teste em x=4 (esquerda): substituindo x=4 obtemos a série alternada
Para séries alternadas é natural usar o teste de Leibniz (alternating series test). Mini-aula: o teste de Leibniz afirma que se (b_n) é uma sequência positiva, monótona decrescente a partir de algum N e com \lim_{n\to\infty}b_n=0, então \sum (-1)^n b_n converge.
Aqui tome b_n=\dfrac{\ln n}{n+1}.
Primeiro, \lim_{n\to\infty}b_n=0 porque \ln n cresce muito mais devagar que n, logo \dfrac{\ln n}{n+1}\to 0.
Segundo, b_n é decrescente a partir de algum índice. Uma forma simples de ver isso é considerar a função contínua f(x)=\dfrac{\ln x}{x+1} e verificar que f'(x)<0 para x suficientemente grande (por exemplo, para x\ge 4 já se torna decrescente), portanto b_n é decrescente para n\ge 4. Assim a monotonicidade necessária vale a partir de um N.
Pelo teste de Leibniz a série em x=4 converge. Para ver que a convergência é condicional e não absoluta, note que a série dos valores absolutos é exatamente a do caso x=6,
que já demonstramos que diverge. Portanto em x=4 há convergência condicional (inclui-se o extremo esquerdo).
Passo 5
Conclusão final: o raio de convergência é R=1; o intervalo aberto de convergência é (4,6); em x=6 a série diverge; em x=4 a série converge (condicionalmente). Assim o intervalo de convergência, incluindo os testes dos extremos, é