Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n+1}(x-5)^{n}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências centrada em 5
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n+1}(x-5)^{n}.
Informações dadas e o que devemos encontrar:
  • É uma série de potências em torno de x=5.
  • Os coeficientes são a_n=\dfrac{\ln n}{n+1}.
  • Precisamos determinar o raio de convergência R e testar os pontos extremos x=5\pm R para saber se devem ser incluídos no intervalo.

Passo 2

Escolha do método para achar o raio: para séries de potências o procedimento standard é usar o teste da razão ou o teste da raiz. Aqui o teste da razão fica bem simples. Vou aplicar o teste da razão à sequência dos termos gerais c_n=a_n(x-5)^n com a_n=\dfrac{\ln n}{n+1}.
Explicação do teste da razão (mini-aula curta): o teste da razão diz que, para uma série de termos c_n, se
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|
existe, então a série converge se L<1 e diverge se L>1. Para uma série de potências isso leva à condição |x-5|<R com
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}
ou, mais diretamente via razão,
R=\frac{1}{\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|},
quando esse limite existe.
Agora aplico o cálculo:
\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|=\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\;|x-5| =\frac{\ln(n+1)}{n+2}\cdot\frac{n+1}{\ln n}\;|x-5| = \left(\frac{\ln(n+1)}{\ln n}\right)\left(\frac{n+1}{n+2}\right)|x-5|.
Tomando limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n+1)}{\ln n}=1, \qquad \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n+2}=1,
portanto
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|=|x-5|.
Pelo teste da razão a série converge se |x-5|<1 e diverge se |x-5|>1. Assim o raio de convergência é R=1 e a convergência ocorre, pelo menos, para x no intervalo aberto
(5-1,\,5+1)=(4,6).

Passo 3

Agora precisamos testar os extremos x=4 e x=6.
Teste em x=6 (direita): substituindo x=6 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n+1}(6-5)^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n+1}.
Queremos saber se essa série de termos positivos converge. Compare com a série \sum \dfrac{\ln n}{n}. Uso o teste da comparação limite (mini-aula curta): se \lim_{n\to\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=L com 0<L<\infty, então u_n e v_n têm o mesmo comportamento de convergência.
Calculo
\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{\ln n}{n+1}}{\dfrac{\ln n}{n}}= \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1.
Como \sum \dfrac{\ln n}{n} diverge (pode-se ver pelo integral \int \frac{\ln x}{x}\,dx=\tfrac{1}{2}(\ln x)^2 que tende a +\infty), conclui-se que \sum \dfrac{\ln n}{n+1} também diverge. Logo em x=6 a série diverge (não é incluído).

Passo 4

Teste em x=4 (esquerda): substituindo x=4 obtemos a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n+1}(4-5)^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n+1}(-1)^{n}.
Para séries alternadas é natural usar o teste de Leibniz (alternating series test). Mini-aula: o teste de Leibniz afirma que se (b_n) é uma sequência positiva, monótona decrescente a partir de algum N e com \lim_{n\to\infty}b_n=0, então \sum (-1)^n b_n converge.
Aqui tome b_n=\dfrac{\ln n}{n+1}.
  • Primeiro, \lim_{n\to\infty}b_n=0 porque \ln n cresce muito mais devagar que n, logo \dfrac{\ln n}{n+1}\to 0.
  • Segundo, b_n é decrescente a partir de algum índice. Uma forma simples de ver isso é considerar a função contínua f(x)=\dfrac{\ln x}{x+1} e verificar que f'(x)<0 para x suficientemente grande (por exemplo, para x\ge 4 já se torna decrescente), portanto b_n é decrescente para n\ge 4. Assim a monotonicidade necessária vale a partir de um N.
Pelo teste de Leibniz a série em x=4 converge. Para ver que a convergência é condicional e não absoluta, note que a série dos valores absolutos é exatamente a do caso x=6,
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\ln n}{n+1}(-1)^n\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n+1},
que já demonstramos que diverge. Portanto em x=4 há convergência condicional (inclui-se o extremo esquerdo).

Passo 5

Conclusão final: o raio de convergência é R=1; o intervalo aberto de convergência é (4,6); em x=6 a série diverge; em x=4 a série converge (condicionalmente). Assim o intervalo de convergência, incluindo os testes dos extremos, é
[4,6).

Resposta

[4,6)

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