Determine o raio de convergência das seguintes séries.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}{3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \ldots \cdot(3 n)} x^{n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o raio de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{3\cdot6\cdot9\cdots(3n)}\,x^{n}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral (antes de x^{n}) é (-1)^{n} vezes um quociente de produtos.
  • Numerador: o produto dos primeiros n números ímpares, isto é 1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1).
  • Denominador: o produto 3\cdot6\cdot9\cdots(3n), que é o produto dos primeiros n múltiplos de 3.
  • O objetivo é encontrar o raio de convergência R da série de potências em x.

Passo 2

Vamos simplificar o coeficiente (módulo) para uma forma conhecida, passo a passo.
  1. Produto dos ímpares até 2n-1. Observe que
(2n)! = \prod_{k=1}^{2n} k = \prod_{k=1}^{n} (2k)\cdot\prod_{k=1}^{n}(2k-1).
Mas \prod_{k=1}^{n}(2k)=2^{n}n!. Logo
\prod_{k=1}^{n}(2k-1)=\frac{(2n)!}{2^{n}n!}.
  1. Produto dos múltiplos de 3: 3\cdot6\cdot9\cdots(3n)=\prod_{k=1}^{n}3k=3^{n}n!.
  2. Portanto o módulo do coeficiente é
|a_{n}|=\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{3\cdot6\cdot9\cdots(3n)} =\frac{\dfrac{(2n)!}{2^{n}n!}}{3^{n}n!} =\frac{(2n)!}{2^{n}3^{n}(n!)^{2}}.
  1. Reconhecendo o coeficiente binomial central \displaystyle \binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}, obtemos
|a_{n}|=\frac{\binom{2n}{n}}{6^{n}}.
Essa forma \displaystyle |a_{n}|=\frac{\binom{2n}{n}}{6^{n}} é mais simples para aplicar testes de convergência.

Passo 3

Escolha do método: vou usar o critério da razão (ratio test) aplicado aos coeficientes de série de potências. Para uma série de potências \sum a_{n}x^{n}, se existir o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|},
então o raio de convergência é
R=\frac{1}{L}.
Explico rapidamente por que: o teste da razão para a série em x dá convergence para |x|\cdot L <1, isto é |x|<1/L, logo R=1/L. Aqui L existe e é finito, como vamos calcular.

Passo 4

Calcular exatamente a razão \dfrac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} usando a forma com binomial central.
Usando |a_{n}|=\dfrac{\binom{2n}{n}}{6^{n}}, temos
\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} = \frac{\dfrac{\binom{2n+2}{\,n+1\,}}{6^{\,n+1}}}{\dfrac{\binom{2n}{n}}{6^{n}}} = \frac{\binom{2n+2}{\,n+1\,}}{\binom{2n}{n}}\cdot\frac{1}{6}.
Agora simplificar a razão dos binomiais:
\frac{\binom{2n+2}{\,n+1\,}}{\binom{2n}{n}} = \frac{\dfrac{(2n+2)!}{(n+1)!^{2}}}{\dfrac{(2n)!}{(n!)^{2}}} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^{2}}.
Logo
\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^{2}}\cdot\frac{1}{6}.
Podemos simplificar um pouco escrevendo 2n+2=2(n+1):
\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} = \frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^{2}}\cdot\frac{1}{6} = \frac{2(2n+1)}{6(n+1)} = \frac{4n+2}{6(n+1)}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} = \lim_{n\to\infty}\frac{4n+2}{6(n+1)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.

Passo 5

Como o limite L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}=\dfrac{2}{3} existe, o raio de convergência é
R=\frac{1}{L}=\frac{1}{2/3}=\frac{3}{2}.
Portanto a série converge absolutamente para |x|<\tfrac{3}{2} e diverge para |x|>\tfrac{3}{2}. (A verificação dos pontos extremos |x|=\tfrac{3}{2} não foi pedida; o enunciado solicitou apenas o raio.)

Resposta

R=\tfrac{3}{2}

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