Determine o raio de convergência das seguintes séries.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o raio de convergência da série
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O termo geral (antes de
) é vezes um quociente de produtos. - Numerador: o produto dos primeiros
números ímpares, isto é . - Denominador: o produto
, que é o produto dos primeiros múltiplos de . - O objetivo é encontrar o raio de convergência
da série de potências em .
Passo 2
Vamos simplificar o coeficiente (módulo) para uma forma conhecida, passo a passo.
- Produto dos ímpares até
. Observe que
Mas
. Logo
-
Produto dos múltiplos de
: . -
Portanto o módulo do coeficiente é
- Reconhecendo o coeficiente binomial central
, obtemos
Essa forma
é mais simples para aplicar testes de convergência.
Passo 3
Escolha do método: vou usar o critério da razão (ratio test) aplicado aos coeficientes de série de potências. Para uma série de potências
, se existir o limite
então o raio de convergência é
Explico rapidamente por que: o teste da razão para a série em
dá convergence para
, isto é
, logo
. Aqui
existe e é finito, como vamos calcular.
Passo 4
Calcular exatamente a razão
usando a forma com binomial central.
Usando
, temos
Agora simplificar a razão dos binomiais:
Logo
Podemos simplificar um pouco escrevendo
:
Agora tomamos o limite quando
:
Passo 5
Como o limite
existe, o raio de convergência é
Portanto a série converge absolutamente para
e diverge para
. (A verificação dos pontos extremos
não foi pedida; o enunciado solicitou apenas o raio.)