Determine o intervalo de convergência das seguintes séries de potência. Se o raio de convergência for finito, verifique a convergência nos pontos da fronteira.
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x-3)^{k}}{(k+1) 2^{k}}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potência centrada em x=3:
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x-3)^{k}}{(k+1)\,2^{k}}.
O conteúdo aqui é determinação do raio de convergência via teste da razão, seguido da análise de convergência nos pontos de fronteira.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão. Seja
a_k = \frac{1}{(k+1)\,2^k},
então
\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = \frac{\bigl((k+1)\,2^k\bigr)}{\bigl((k+2)\,2^{k+1}\bigr)} = \frac{k+1}{k+2}\,\frac{1}{2}.
Fazendo k\to\infty,
\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = \frac12.

Passo 3

Do teste da razão o raio de convergência é
R = \frac{1}{\tfrac12} = 2.
Como o centro é 3, a série converge para
1 < x < 5.

Passo 4

Analisamos x=1. Substituindo na série:
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(1-3)^k}{(k+1)\,2^k} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-2)^k}{(k+1)\,2^k} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k+1}.
Essa é uma série alternada cujos termos \tfrac{1}{k+1} decrescem a zero, logo converge (teste de Leibniz), mas não converge absolutamente (harmônica).

Passo 5

Analisamos x=5. Substituindo na série:
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(5-3)^k}{(k+1)\,2^k} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k}{(k+1)\,2^k} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k+1},
que é a série harmônica clássica e diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é
[1,5).

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