Verifique que as séries de funções a seguir convergem uniformemente no domínio dado.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(\operatorname{tanh} (x))^{k}}{k!}, \quad x \in \boldsymbol{R} .

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência uniforme da série de funções
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(\operatorname{tanh}(x))^{k}}{k!},
no domínio x\in\mathbb{R}. O conteúdo necessário é o Teste de Weierstrass (ou M-teste), que afirma que se existem constantes M_k\ge0 com
\bigl|f_k(x)\bigr|\le M_k \quad\text{para todo }x \quad\text{e}\quad \sum_{k=1}^\infty M_k<\infty,
então \sum f_k(x) converge uniformemente.

Passo 2

Observamos que, para todo x\in\mathbb{R}, vale
|\operatorname{tanh}(x)|\le1.
Logo, cada termo da série satisfaz
\left|\frac{(\operatorname{tanh}(x))^{k}}{k!}\right| =\frac{\bigl|\operatorname{tanh}(x)\bigr|^{k}}{k!} \le\frac{1}{k!}.

Passo 3

Definimos
M_k = \frac{1}{k!}.
Como \sum_{k=1}^{\infty}M_k=\sum_{k=1}^{\infty}\tfrac1{k!} é convergente (soma da série de e), pelo Teste de Weierstrass concluímos que
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(\operatorname{tanh}(x))^{k}}{k!}
converge uniformemente em \mathbb{R}.

Resposta

A série converge uniformemente em \mathbb{R} pelo Teste de Weierstrass.

Exercícios relacionados