determine o intervalo de convergência das seguintes séries e o raio de convergência
\sum_{n \geq 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n+2}}{(2 n+1)(2 n+2)}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+2}}{(2n+1)(2n+2)}.
O conteúdo é séries de potências e usaremos principalmente o teste da razão para encontrar R e, em seguida, analisaremos convergência nos extremos com o teste de Leibniz (séries alternantes).

Passo 2

Definimos o termo geral
b_n(x) = \frac{(-1)^{n}x^{2n+2}}{(2n+1)(2n+2)}.
Aplicamos o teste da razão, calculando
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{b_{n+1}(x)}{b_n(x)}\right|.

Passo 3

Temos
\left|\frac{b_{n+1}(x)}{b_n(x)}\right| = \left|\frac{(-1)^{n+1}x^{2(n+1)+2}}{(2n+3)(2n+4)} \cdot\frac{(2n+1)(2n+2)}{(-1)^{n}x^{2n+2}}\right| = |x|^2\cdot\frac{(2n+1)(2n+2)}{(2n+3)(2n+4)}.
Ao fazer n\to\infty, o quociente racional tende a 1, logo
L = |x|^2.

Passo 4

Pelo teste da razão, a série converge se L<1 e diverge se L>1. Portanto
|x|^2<1 \quad\Longrightarrow\quad |x|<1
e o raio de convergência é
R = 1.

Passo 5

Agora analisamos os extremos x=1 e x=-1.
Para x=1 a série fica
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)(2n+2)},
que é uma série alternante cujos termos em valor absoluto \tfrac1{(2n+1)(2n+2)} decrescem a zero. Pelo teste de Leibniz, converge.
Para x=-1 a série fica
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(-1)^{2n+2}}{(2n+1)(2n+2)} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)(2n+2)},
pois (-1)^{2n+2}=1. É exatamente a mesma série alternante do caso x=1 e, portanto, converge também.

Passo 6

Concluímos que a série converge para |x|<1 e converge condicionalmente nos pontos x=\pm1.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é [-1,1].

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