determine o intervalo de convergência das seguintes séries e o raio de convergência
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{n^{n} 2^{n}}

Passo 1

O exercício pede o intervalo de convergência e o raio de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n^{n}2^{n}}.
O conteúdo envolve teste de convergência para séries de potências. Vamos usar principalmente o teste da raiz para séries.

Passo 2

Identificamos o termo geral
a_n(x)=\frac{x^{2n}}{n^{n}2^{n}}.
O teste da raiz afirma que devemos calcular
L=\lim_{n\to\infty}\bigl|a_n(x)\bigr|^{1/n}
e concluir convergência se L<1, divergência se L>1.

Passo 3

Vamos avaliar
\bigl|a_n(x)\bigr|^{1/n} =\left|\frac{x^{2n}}{n^{n}2^{n}}\right|^{1/n} =\frac{|x|^{2}}{(n^{n}2^{n})^{1/n}} =\frac{|x|^{2}}{n\cdot2}.
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L=\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{2}}{2n}=0 \quad\text{para todo \(x\) fixo.}

Passo 4

Como L=0<1 para qualquer valor de x, a série converge para todo x\in\mathbb{R}. Não há ponto de divergência finito.

Passo 5

O raio de convergência R é dado pelo intervalo onde converge, aqui será R = \infty
e o intervalo de convergência é
(-\infty,\infty).

Resposta

O raio de convergência é R=\infty e o intervalo de convergência é (-\infty,\infty).

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