determine o intervalo de convergência das seguintes séries e o raio de convergência
\sum_{n \geq 1}^{\infty} \frac{|x-2|^{n}}{n}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo e o raio de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\lvert x-2\rvert^{n}}{n}.
Trata-se de uma série de potências em torno de x_{0}=2, com termo geral a_{n}=\tfrac{1}{n} e “variável” \lvert x-2\rvert. Vamos usar o teste da razão para determinar onde ela converge.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão ao termo geral
u_{n}=\frac{\lvert x-2\rvert^{n}}{n}.
Calculamos
\frac{u_{n+1}}{u_{n}} =\frac{\lvert x-2\rvert^{\,n+1}/(n+1)}{\lvert x-2\rvert^{\,n}/n} =\lvert x-2\rvert\;\frac{n}{n+1}.

Passo 3

Tomamos o limite quando n\to\infty:
L =\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_{n}} =\lim_{n\to\infty}\lvert x-2\rvert\;\frac{n}{n+1} =\lvert x-2\rvert.
O teste da razão diz que a série converge se L<1 e diverge se L>1.

Passo 4

Da condição \lvert x-2\rvert<1 segue que o raio de convergência é R=1,
e o intervalo aberto de convergência é
2-R < x < 2+R \quad\Longrightarrow\quad 1 < x < 3.

Passo 5

Falta verificar os extremos x=1 e x=3. Nesse caso \lvert x-2\rvert=1 e a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^{n}}{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica e diverge.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é
1 < x < 3.

Exercícios relacionados