determine o intervalo de convergência das seguintes séries e o raio de convergência
Passo 1
O enunciado pede o intervalo e o raio de convergência da série
Trata-se de uma série de potências em torno de
, com termo geral
e “variável”
. Vamos usar o teste da razão para determinar onde ela converge.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão ao termo geral
Calculamos
Passo 3
Tomamos o limite quando
:
O teste da razão diz que a série converge se
e diverge se
.
Passo 4
Da condição
segue que o raio de convergência é
e o intervalo aberto de convergência é
e o intervalo aberto de convergência é
Passo 5
Falta verificar os extremos
e
. Nesse caso
e a série vira
que é a série harmônica e diverge.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é