determine o intervalo de convergência das seguintes séries e o raio de convergência
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|x|^{2 n-1}}{2 n-1}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|x|^{2n-1}}{2n-1}.
O conteúdo é teste de convergência de séries de potências. Vamos usar o teste da raiz (ou razão) para encontrar o raio e depois verificar os extremos do intervalo.

Passo 2

Chamando
a_n = \frac{|x|^{2n-1}}{2n-1},
aplicamos o teste da raiz, calculando
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\bigl|x\bigr|^{(2n-1)/n}}{(2n-1)^{1/n}} = |x|^2.
Pela regra, a série converge se L<1, isto é, se
|x|^2<1\quad\Longrightarrow\quad |x|<1.

Passo 3

Concluímos que o raio de convergência é
R = 1
e que a série converge para |x|<1.

Passo 4

Agora testamos os extremos x=\pm1:
Para x=1 a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1},
que é a soma dos inversos dos números ímpares. Como a soma dos inversos de todos os inteiros diverge, a soma parcial dos ímpares também diverge (comparação com a série harmônica). Portanto diverge em x=1.
Para x=-1 vale |x|=1 e o termo geral é o mesmo em valor absoluto, de modo que também diverge.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é
(-1,1).

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