Determine o intervalo de convergência da série de potência dada.
sumn=1^+infty n x^n3^n

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a série de potência
sumn=1^+inftyn,x^n3^n,
e queremos encontrar o intervalo de convergência. O conteúdo principal aqui é o teste da razão para séries de potências, que nos dá o raio de convergência.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão: analisamos
L = limntoinfty|an+1an| com an = n,x^n3^n
Calculando,
|an+1an| = |(n+1),x^,n+1/3^,n+1n,x^n/3^n| = n+1n,|x|3 longrightarrow |x|3

Passo 3

O teste da razão diz que a série converge se L<1, ou seja
|x|3<1 Longrightarrow |x|<3
Isso nos dá o raio de convergência R=3 e indica convergência estrita para -3<x<3.

Passo 4

Agora verificamos as bordas x=3 e x=-3:
  1. Para x=3, a série vira sumn=1^infty ncdot 3^n3^n = sumn=1^infty n, que claramente diverge (os termos não tendem a zero).
  2. Para x=-3, a série vira sumn=1^infty n,(-3)^n3^n = sumn=1^infty n,(-1)^n, cujos termos também não tendem a zero, logo diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é (-3,3).

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