Determine o intervalo de convergência da série de potências dada
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2 n} x^{2 n+1}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}x^{2n+1}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{termo geral } a_n(x)=(-1)^{n}\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}x^{2n+1},
a série indexa n=1,2,3,\dots e só aparecem potências ímpares de x, isto é x^{2n+1}.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a fração de produtos de pares e ímpares. Use a identidade que relaciona double factorials a fatoriais:
  • O produto dos ímpares até 2n-1 pode ser escrito como
1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)=(2n-1)!!=\frac{(2n)!}{2^{n}n!}.
  • O produto dos pares até 2n é
2\cdot4\cdot6\cdots(2n)=(2n)!!=2^{n}n!.
Agora substituímos na fração:
\frac{1\cdot3\cdot\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot\cdots(2n)} =\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} =\frac{\dfrac{(2n)!}{2^{n}n!}}{2^{n}n!} =\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}.
Reconhecendo o coeficiente binomial central \binom{2n}{n}=\dfrac{(2n)!}{(n!)^{2}}, obtemos
\frac{1\cdot3\cdot\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot\cdots(2n)} =\frac{\binom{2n}{n}}{4^{n}}.

Passo 3

Com essa simplificação o termo geral fica
a_n(x)=(-1)^{n}\frac{\binom{2n}{n}}{4^{n}}x^{2n+1}.
Logo a série original pode ser escrita como
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\binom{2n}{n}}{4^{n}}x^{2n+1} = x\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\binom{2n}{n}}{4^{n}}x^{2n}.
Definindo u=x^{2} obtemos a série em u
x\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\binom{2n}{n}}{4^{n}}u^{n}.

Passo 4

Agora usamos a série binomial generalizada. Para \alpha=-\tfrac12 a expansão binomial dá
(1+u)^{-1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/2}{n}u^{n},
e a fórmula para coeficientes binomiais não inteiros é
\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.
É um cálculo padrão (ou uma tabela conhecida) que para \alpha=-\tfrac12 temos a identidade
\binom{-1/2}{n}=(-1)^{n}\frac{\binom{2n}{n}}{4^{n}}.
Portanto
(1+u)^{-1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\binom{2n}{n}}{4^{n}}u^{n},
válida para |u|<1 (essa é a região de convergência do desenvolvimento em série).

Passo 5

Voltando à nossa série em u=x^{2}, usando a identidade acima temos
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\binom{2n}{n}}{4^{n}}u^{n} =(1+u)^{-1/2}-1,
para |u|<1. Multiplicando por x reconstrói a série original:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\binom{2n}{n}}{4^{n}}x^{2n+1} = x\big((1+x^{2})^{-1/2}-1\big),
sempre que |x^{2}|<1, ou seja |x|<1. Portanto a série converge (uniforme e absolutamente em qualquer compacto) para |x|<1. Assim o raio de convergência é 1.

Passo 6

Falta analisar os pontos extremos \,x=1 e \,x=-1.
  • Caso x=1: o termo geral vira
(-1)^{n}\frac{\binom{2n}{n}}{4^{n}}.
Seja d_n=\dfrac{\binom{2n}{n}}{4^{n}}>0. Note que
\frac{d_{n+1}}{d_n} =\frac{1}{4}\cdot\frac{\binom{2n+2}{\,n+1\,}}{\binom{2n}{n}} =\frac{1}{4}\cdot\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^{2}} =\frac{4n^{2}+6n+2}{4(n^{2}+2n+1)}.
Para todo n\ge1 temos 4n^{2}+6n+2<4n^{2}+8n+4, logo \dfrac{d_{n+1}}{d_n}<1. Assim (d_n) é decrescente para n\ge1. Além disso
\lim_{n\to\infty}d_n=0,
pois \binom{2n}{n}/4^{n}\sim 1/\sqrt{\pi n} (famoso comportamento assintótico do coeficiente binomial central). Como os termos positivos d_n decrescem para 0, a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}d_n
converge por critério de Leibniz (crité rio das séries alternadas). A convergência é condicional porque \sum d_n diverge (comportamento \sim\sum 1/\sqrt{n}).
  • Caso x=-1: o termo geral vira
(-1)^{n}\frac{\binom{2n}{n}}{4^{n}}(-1)^{2n+1}=(-1)^{n+1}\frac{\binom{2n}{n}}{4^{n}}.
É outra série alternada cujos termos em valor absoluto são os mesmos d_n, portanto pelas mesmas razões (monotonia eventual e d_n\to0) converge condicionalmente.

Passo 7

Conclusão: a série converge para |x|<1 e nos extremos x=\pm1 converge condicionalmente. Logo o intervalo de convergência é o intervalo fechado de extremos -1 e 1.

Resposta

[-1,1]

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