Determine o intervalo de convergência da série de potências dada
Passo 1
O enunciado pede: determinar o intervalo de convergência da série de potências
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
a série indexa
e só aparecem potências ímpares de
, isto é
.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a fração de produtos de pares e ímpares. Use a identidade que relaciona double factorials a fatoriais:
- O produto dos ímpares até
pode ser escrito como
- O produto dos pares até
é
Agora substituímos na fração:
Reconhecendo o coeficiente binomial central
, obtemos
Passo 3
Com essa simplificação o termo geral fica
Logo a série original pode ser escrita como
Definindo
obtemos a série em
Passo 4
Agora usamos a série binomial generalizada. Para
a expansão binomial dá
e a fórmula para coeficientes binomiais não inteiros é
É um cálculo padrão (ou uma tabela conhecida) que para
temos a identidade
Portanto
válida para
(essa é a região de convergência do desenvolvimento em série).
Passo 5
Voltando à nossa série em
, usando a identidade acima temos
para
. Multiplicando por
reconstrói a série original:
sempre que
, ou seja
. Portanto a série converge (uniforme e absolutamente em qualquer compacto) para
. Assim o raio de convergência é
.
Passo 6
Falta analisar os pontos extremos
e
.
- Caso
: o termo geral vira
Seja
. Note que
Para todo
temos
, logo
. Assim
é decrescente para
. Além disso
pois
(famoso comportamento assintótico do coeficiente binomial central). Como os termos positivos
decrescem para
, a série alternada
converge por critério de Leibniz (crité rio das séries alternadas). A convergência é condicional porque
diverge (comportamento
).
- Caso
: o termo geral vira
É outra série alternada cujos termos em valor absoluto são os mesmos
, portanto pelas mesmas razões (monotonia eventual e
) converge condicionalmente.
Passo 7
Conclusão: a série converge para
e nos extremos
converge condicionalmente. Logo o intervalo de convergência é o intervalo fechado de extremos
e
.