Determine o intervalo de convergência da série de potências dada
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n+1}{n^{2 n}} x^{n}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n+1}{n^{2 n}} x^{n}.
Informações dadas que vamos usar:
  • Os coeficientes da série são a_n=\displaystyle\frac{n+1}{n^{2n}}.
  • A série está centrada em 0 (é da forma \sum a_n x^n).
    A pergunta clara é: para quais valores de x essa série converge?

Passo 2

Como vamos descobrir o intervalo de convergência? Vou escolher o teste da raiz (root test) aplicado à série de potências, porque ele simplifica muito quando aparecem exponenciais em n (temos n^{2n} no denominador). Explico a ideia que vamos usar:
  • Para uma série de potências \sum a_n x^n, definimos
L=\limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{1/n}.
  • Se L é finito, o raio de convergência R da série é
R=\frac{1}{L}.
  • A série converge absolutamente para todo x com |x|<R, diverge para |x|>R, e |x|=R precisa ser analisado caso a caso.
    Aqui \left|a_n\right|^{1/n} costuma ser fácil de calcular quando a_n tem potências em n.

Passo 3

Calculo a n-ésima raiz dos coeficientes:
\left|a_n\right|^{1/n}=\left(\frac{n+1}{n^{2n}}\right)^{1/n}=\frac{(n+1)^{1/n}}{n^{2}}.
Expliquei cada passo: tirei a raiz por cima do numerador e do denominador; (n^{2n})^{1/n}=n^2.

Passo 4

Agora preciso do comportamento assintótico de (n+1)^{1/n} quando n\to\infty. Mostro que
\lim_{n\to\infty} (n+1)^{1/n}=1.
Prova curta e intuitiva: tome o logaritmo natural,
\ln\big((n+1)^{1/n}\big)=\frac{\ln(n+1)}{n}.
Sabemos que \ln(n+1) cresce muito mais devagar que n, então \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n+1)}{n}=0. Portanto o log tende a 0, o que implica que (n+1)^{1/n}\to e^0=1.
(Exemplo simples para intuição: n^{1/n} tende a 1; aqui é a mesma ideia com n+1.)

Passo 5

Usando o resultado do passo anterior,
\lim_{n\to\infty}\left|a_n\right|^{1/n}=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{1/n}}{n^{2}}=\frac{1}{\infty}=0.
Mais formalmente: (n+1)^{1/n}\to1 e n^2\to\infty, então a razão tende a 0. Logo
L=\limsup_{n\to\infty}\left|a_n\right|^{1/n}=0.

Passo 6

Com L=0 aplicamos a fórmula do raio de convergência:
R=\frac{1}{L}=\frac{1}{0}=+\infty.
Um raio infinito significa que a série converge para todo x\in\mathbb{R} (na verdade para todo x\in\mathbb{C}, mas aqui basta dizer reais). Não há pontos de fronteira a verificar porque não existe R finito — a convergência é global.

Resposta

(- \infty, +\infty)

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