Determine o intervalo de convergência da série de potências dada
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
Informações dadas que vamos usar:
- Os coeficientes da série são
. - A série está centrada em
(é da forma ).
A pergunta clara é: para quais valores deessa série converge?
Passo 2
Como vamos descobrir o intervalo de convergência? Vou escolher o teste da raiz (root test) aplicado à série de potências, porque ele simplifica muito quando aparecem exponenciais em
(temos
no denominador). Explico a ideia que vamos usar:
- Para uma série de potências
, definimos
- Se
é finito, o raio de convergência da série é
- A série converge absolutamente para todo
com , diverge para , e precisa ser analisado caso a caso.
Aquicostuma ser fácil de calcular quando tem potências em .
Passo 3
Calculo a
-ésima raiz dos coeficientes:
Expliquei cada passo: tirei a raiz por cima do numerador e do denominador;
.
Passo 4
Agora preciso do comportamento assintótico de
quando
. Mostro que
Prova curta e intuitiva: tome o logaritmo natural,
Sabemos que
cresce muito mais devagar que
, então
. Portanto o log tende a
, o que implica que
.
(Exemplo simples para intuição: tende a
; aqui é a mesma ideia com
.)
(Exemplo simples para intuição:
Passo 5
Usando o resultado do passo anterior,
Mais formalmente:
e
, então a razão tende a
. Logo
Passo 6
Com
aplicamos a fórmula do raio de convergência:
Um raio infinito significa que a série converge para todo
(na verdade para todo
, mas aqui basta dizer reais). Não há pontos de fronteira a verificar porque não existe
finito — a convergência é global.