Determine o intervalo de convergência da série de potências dada
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
e pede para determinar o intervalo de convergência dessa série.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O que se pede: o conjunto de valores de
(intervalo) para os quais a série converge.
Passo 2
Escolha do método: vou usar o teste da razão (aplicado à série de módulos) porque é um método básico, direto e eficaz para séries que envolvem fatoriais e potências. O objetivo é mostrar que a série converge absolutamente para todo
, o que dá o intervalo de convergência. Explico o teste antes de aplicar.
Passo 3
Enunciado do teste da razão (para séries de termos não-negativos ou aplicado aos módulos): seja uma série com termos positivos
. Se
existe, então
- se
a série converge; - se
a série diverge; - se
o teste é inconclusivo.
Aqui usaremos o teste sobrepara verificar convergência absoluta.
Passo 4
Calculemos os módulos dos termos:
Agora formamos a razão
e simplificamos passo a passo:
Observe que
. Substituindo:
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
:
Como o denominador é um polinômio de grau 2 em
que vai para
, o limite é
Esse limite vale para qualquer valor fixo de
.
Passo 6
Conclusão a partir do teste da razão: o limite
para todo
. Logo a série dos módulos
converge para todo
, ou seja, a série original converge absolutamente para todo
. Convergência absoluta implica convergência, portanto o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é toda a reta real.
Passo 7
Comentário extra (verificação): fazendo a mudança de índice
obtemos
que é exatamente a série de Taylor de
. Como a série de Taylor de
tem raio de convergência infinito, isso confirma o resultado anterior.