Determine o intervalo de convergência da série de potências dada
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1)!}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}
e pede para determinar o intervalo de convergência dessa série.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{termo geral: }a_n(x)=(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}.
O que se pede: o conjunto de valores de x (intervalo) para os quais a série converge.

Passo 2

Escolha do método: vou usar o teste da razão (aplicado à série de módulos) porque é um método básico, direto e eficaz para séries que envolvem fatoriais e potências. O objetivo é mostrar que a série converge absolutamente para todo x, o que dá o intervalo de convergência. Explico o teste antes de aplicar.

Passo 3

Enunciado do teste da razão (para séries de termos não-negativos ou aplicado aos módulos): seja uma série com termos positivos b_n. Se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}
existe, então
  • se L<1 a série \sum b_n converge;
  • se L>1 a série diverge;
  • se L=1 o teste é inconclusivo.
    Aqui usaremos o teste sobre b_n=|a_n(x)| para verificar convergência absoluta.

Passo 4

Calculemos os módulos dos termos:
b_n=|a_n(x)|=\frac{|x|^{2n-1}}{(2n-1)!}.
Agora formamos a razão \dfrac{b_{n+1}}{b_n} e simplificamos passo a passo:
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{|x|^{2(n+1)-1}}{(2(n+1)-1)!}\cdot\frac{(2n-1)!}{|x|^{2n-1}}.
Observe que 2(n+1)-1=2n+1. Substituindo:
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{|x|^{2n+1}}{(2n+1)!}\cdot\frac{(2n-1)!}{|x|^{2n-1}} = \frac{|x|^{2}}{(2n+1)(2n)}.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{2}}{(2n+1)(2n)}.
Como o denominador é um polinômio de grau 2 em n que vai para +\infty, o limite é
\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{2}}{(2n+1)(2n)}=0.
Esse limite vale para qualquer valor fixo de x\in\mathbb{R}.

Passo 6

Conclusão a partir do teste da razão: o limite L=0<1 para todo x. Logo a série dos módulos \sum b_n converge para todo x, ou seja, a série original converge absolutamente para todo x. Convergência absoluta implica convergência, portanto o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é toda a reta real.

Passo 7

Comentário extra (verificação): fazendo a mudança de índice k=n-1 obtemos
\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} = \sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!},
que é exatamente a série de Taylor de \sin x. Como a série de Taylor de \sin x tem raio de convergência infinito, isso confirma o resultado anterior.

Resposta

(-\infty,\infty)

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