Determine o intervalo de convergência da série de potências dada.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 x^2 n-1(2 n-1)!

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty(-1)^n+1x^2n-1(2n-1)!
O conteúdo envolve séries de potências e o teste da razão (Cauchy) para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Seja
an(x)=(-1)^n+1x^2n-1(2n-1)!
Aplicamos o teste da razão, calculando
L=limntoinfty|an+1(x)an(x)| =limntoinfty|x|^2(n+1)-1(2(n+1)-1)!, (2n-1)!|x|^2n-1 =limntoinfty|x|^22n(2n+1)

Passo 3

Como limntoinfty2n(2n+1)=infty, segue que
L=limntoinfty|x|^22n(2n+1)=0<1
Pelo teste da razão, a série converge absolutamente para todo xinR.

Passo 4

O raio de convergência é R=infty, portanto o intervalo de convergência é (-infty,infty).

Resposta

(-infty,infty)

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