Determine o intervalo de convergência da série de poténcias
\sum_{k=3}^{\infty} \frac{\ln k}{k 6^{k}} x^{k}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{k=3}^{\infty} \frac{\ln k}{k\,6^{k}} x^{k}.
Informações dadas e relevantes:
  • A soma é sobre k=3,4,5,\dots.
  • O coeficiente geral (sem o x^k) é a_k=\dfrac{\ln k}{k\,6^{k}}.
  • Queremos saber para quais valores de x essa série converge (intervalo de convergência), incluindo testar os pontos finais x=\pm 6.

Passo 2

Encontrar o raio de convergência (e o intervalo interior) usando o teste da razão (é natural para séries de potências). Vou explicar o teste da razão de forma simples: para uma série de termos u_k com u_k\neq0, se
L=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{u_{k+1}}{u_k}\right|
existe, então
  • se L<1 a série converge absolutamente;
  • se L>1 a série diverge;
  • se L=1 o teste é inconclusivo.
Aplicamos isso aos termos u_k=\dfrac{\ln k}{k\,6^{k}}x^{k}. Calculemos a razão:
\left|\frac{u_{k+1}}{u_k}\right| = \frac{\dfrac{\ln(k+1)}{(k+1)6^{k+1}}|x|^{k+1}}{\dfrac{\ln k}{k6^{k}}|x|^{k}} = \frac{\ln(k+1)}{\ln k}\cdot\frac{k}{k+1}\cdot\frac{|x|}{6}.
Agora tomamos o limite quando k\to\infty. Observamos que \dfrac{\ln(k+1)}{\ln k}\to1 e \dfrac{k}{k+1}\to1, logo
L=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{u_{k+1}}{u_k}\right|=\frac{|x|}{6}.
Pelo teste da razão a série converge absolutamente se \dfrac{|x|}{6}<1, ou seja |x|<6. Portanto o raio de convergência é R=6 e a convergência é garantida no intervalo aberto (-6,6). Agora precisamos testar os pontos finais x=6 e x=-6.

Passo 3

Testando x=6. Substituindo x=6 na série obtemos
\sum_{k=3}^{\infty}\frac{\ln k}{k\,6^{k}}6^{k}=\sum_{k=3}^{\infty}\frac{\ln k}{k}.
Devemos ver se a série \sum_{k=3}^{\infty}\dfrac{\ln k}{k} converge. Usei o teste integral (explico rapidinho): considere a função f(x)=\dfrac{\ln x}{x} para x\ge3. Essa função é contínua, positiva e, para x>e, decrescente (pois f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}<0 quando \ln x>1). Pelo teste integral, a soma \sum \dfrac{\ln k}{k} tem comportamento igual ao integral improprio
\int_{3}^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx.
Calculamos a integral:
\int\frac{\ln x}{x}\,dx=\frac{(\ln x)^{2}}{2}+C,
portanto
\int_{3}^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx=\lim_{t\to\infty}\frac{(\ln t)^{2}}{2}-\frac{(\ln 3)^{2}}{2}=\infty.
Como a integral diverge, a série \sum_{k=3}^{\infty}\dfrac{\ln k}{k} também diverge. Conclusão: em x=6 a série diverge (não converge nem condicionalmente nem absolutamente).

Passo 4

Testando x=-6. Substituindo x=-6 obtemos a série
\sum_{k=3}^{\infty}\frac{\ln k}{k\,6^{k}}(-6)^{k}=\sum_{k=3}^{\infty}(-1)^{k}\frac{\ln k}{k}.
Esta é uma série alternada com termos b_k=\dfrac{\ln k}{k}\ge0. Para aplicar o teste de Leibniz (teste da série alternada) precisamos checar duas coisas:
  1. b_k é monótonamente decrescente a partir de algum k;
  2. b_k\to0 quando k\to\infty.
Mostramos que b_k\to0: \lim_{k\to\infty}\dfrac{\ln k}{k}=0 porque \ln k cresce muito mais devagar que k (pode-se justificar por L’Hôpital: \lim_{x\to\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0). Quanto à monotonicidade, considere f(x)=\dfrac{\ln x}{x} com derivada f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}. Para x\ge3 temos \ln x\ge\ln 3>1, então f'(x)<0 e assim f é decrescente para x\ge3. Logo a sequência b_k é decrescente para k\ge3. Portanto as condições do teste de Leibniz são satisfeitas e a série alternada converge.
Verificamos também se a convergência é absoluta: os termos em módulo são \dfrac{\ln k}{k} e já vimos no Passo 3 que \sum \dfrac{\ln k}{k} diverge; logo não há convergência absoluta em x=-6. Assim a convergência em x=-6 é condicional.

Passo 5

Conclusão final: a série converge absolutamente para |x|<6, diverge em x=6 e converge condicionalmente em x=-6. Portanto o intervalo de convergência é aquele que inclui -6 e exclui 6.

Resposta

[-6,6)

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