Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
Baseado em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de
.
Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando
.
Baseado em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de
Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a equação diferencial
Lista das perguntas e das informações dadas:
- Desenhar um campo de direções para a equação dada.
- Com base na análise desse campo, descrever o comportamento das soluções para valores grandes de
. - Encontrar a solução geral da equação diferencial e, usando-a, determinar o comportamento das soluções quando
.
As informações disponíveis são apenas a própria equação diferencial de primeira ordem e as operações algébricas/integrais que podemos aplicar para estudá-la. Não há condições iniciais fornecidas (logo a solução terá uma constante arbitrária).
Passo 2
Transformar a equação para obter a inclinação do campo em qualquer ponto
.
Dividindo a equação por obtemos a forma explícita para a derivada:
Dividindo a equação por
Isto significa que, em cada ponto
, o segmento do campo de direções tem inclinação
. Para desenhar o campo de direções na prática:
- Escolha uma malha de pontos
(por exemplo e ). - Em cada ponto calcule
e desenhe um pequeno segmento com inclinação .
Explicação intuitiva e algumas isóclinas úteis: - As isóclinas (curvas onde a inclinação é constante
) são dadas por . Em particular, a isóclina de inclinação zero (segmentos horizontais) é
- Se
então (segmentos inclinados para cima); se então (segmentos inclinados para baixo).
Exemplos numéricos simples (pegando pontos da malha): - Em
: (horizontal). - Em
: (forte subida). - Em
: (leve descida).
Com essas informações você pode esboçar o campo: perto da parábolaos segmentos são horizontais; abaixo dela os segmentos sobem; acima dela descem.
Passo 3
Observação qualitativa do campo para grandes
(antes de resolver):
- Para grandes
o termo fica muito grande e positivo. Assim, salvo se também for muito maior que , a inclinação tende a ser positiva e grande, ou seja, as soluções tendem a crescer rapidamente para cima conforme aumenta. - No entanto, isto é só uma visão pelo campo. Vamos agora achar a solução geral exatamente e ver o comportamento assintótico rigoroso.
Passo 4
Colocar a equação na forma padrão e escolher um fator integrante.
Dividindo por já temos a forma linear padrão:
Dividindo por
Aqui a função que multiplica
é
. O fator integrante
é
Passo 5
Multiplicar pela fator integrante e reconhecer uma derivada exata.
Multiplicando a equação por obtemos
Multiplicando a equação por
O lado esquerdo é a derivada do produto
:
Passo 6
Integrar ambos os lados e calcular a integral necessária.
Integrando em ,
Integrando em
onde
é constante arbitrária. Precisamos calcular
Usamos integração por partes duas vezes. Primeira passagem: tome
,
então
,
. Assim
Segunda passagem para
: tome
,
então
,
. Logo
Substituindo em
:
Passo 7
Voltar para a expressão de
e isolar.
Voltando a
Voltando a
Simplificando o fator:
Dividindo por
obtemos a solução geral
onde
é constante arbitrária.
Passo 8
Interpretação e comportamento assintótico usando a solução geral.
Escrevemos a solução como
Escrevemos a solução como
onde
é uma solução particular. A parte exponencial
tende a zero quando
para qualquer
. Portanto
ou seja, todas as soluções convergem exponencialmente para a curva
à medida que
. Como
para
grande, concluímos que todas as soluções divergem para
obedecendo ao crescimento quadrático dominante:
Resposta
Campo de direções: inclinações dadas por
; isóclina de inclinação zero é
; abaixo dessa parábola os segmentos sobem, acima dela descem.
Solução geral: , onde
é constante arbitrária.
Comportamento quando :
, ou seja
e
; a diferença para
decai como
.
Solução geral:
Comportamento quando