Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
Baseado em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de t.
Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando t \rightarrow \infty.
2 y^{\prime}+y=3 t^{2}

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a equação diferencial
2y'+y=3t^{2}.
Lista das perguntas e das informações dadas:
  • Desenhar um campo de direções para a equação dada.
  • Com base na análise desse campo, descrever o comportamento das soluções para valores grandes de t.
  • Encontrar a solução geral da equação diferencial e, usando-a, determinar o comportamento das soluções quando t\to\infty.
As informações disponíveis são apenas a própria equação diferencial de primeira ordem e as operações algébricas/integrais que podemos aplicar para estudá-la. Não há condições iniciais fornecidas (logo a solução terá uma constante arbitrária).

Passo 2

Transformar a equação para obter a inclinação do campo em qualquer ponto (t,y).
Dividindo a equação por 2 obtemos a forma explícita para a derivada:
y'=\frac{3t^{2}-y}{2}.
Isto significa que, em cada ponto (t,y), o segmento do campo de direções tem inclinação \dfrac{3t^{2}-y}{2}. Para desenhar o campo de direções na prática:
  • Escolha uma malha de pontos (t,y) (por exemplo t=-2,-1,0,1,2 e y=-4,-2,0,2,4,\dots).
  • Em cada ponto calcule m=\dfrac{3t^{2}-y}{2} e desenhe um pequeno segmento com inclinação m.
    Explicação intuitiva e algumas isóclinas úteis:
  • As isóclinas (curvas onde a inclinação é constante m) são dadas por y=3t^{2}-2m. Em particular, a isóclina de inclinação zero (segmentos horizontais) é
y=3t^{2}.
  • Se y<3t^{2} então y'>0 (segmentos inclinados para cima); se y>3t^{2} então y'<0 (segmentos inclinados para baixo).
    Exemplos numéricos simples (pegando pontos da malha):
  • Em (t,y)=(0,0): y'=(0-0)/2=0 (horizontal).
  • Em (t,y)=(1,0): y'=(3-0)/2=1{,}5 (forte subida).
  • Em (t,y)=(1,4): y'=(3-4)/2=-0{,}5 (leve descida).
    Com essas informações você pode esboçar o campo: perto da parábola y=3t^{2} os segmentos são horizontais; abaixo dela os segmentos sobem; acima dela descem.

Passo 3

Observação qualitativa do campo para grandes t (antes de resolver):
  • Para grandes t o termo 3t^{2} fica muito grande e positivo. Assim, salvo se y também for muito maior que 3t^{2}, a inclinação tende a ser positiva e grande, ou seja, as soluções tendem a crescer rapidamente para cima conforme t aumenta.
  • No entanto, isto é só uma visão pelo campo. Vamos agora achar a solução geral exatamente e ver o comportamento assintótico rigoroso.

Passo 4

Colocar a equação na forma padrão e escolher um fator integrante.
Dividindo por 2 já temos a forma linear padrão:
y'+\frac{1}{2}y=\frac{3}{2}t^{2}.
Aqui a função que multiplica y é p(t)=\dfrac{1}{2}. O fator integrante \mu(t) é
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right)=\exp\!\left(\int \frac{1}{2}\,dt\right)=e^{t/2}.

Passo 5

Multiplicar pela fator integrante e reconhecer uma derivada exata.
Multiplicando a equação por e^{t/2} obtemos
e^{t/2}y' + \frac{1}{2}e^{t/2}y = \frac{3}{2}t^{2}e^{t/2}.
O lado esquerdo é a derivada do produto y\,e^{t/2}:
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{t/2}\bigr)=\frac{3}{2}t^{2}e^{t/2}.

Passo 6

Integrar ambos os lados e calcular a integral necessária.
Integrando em t,
y\,e^{t/2}=\frac{3}{2}\int t^{2}e^{t/2}\,dt + C,
onde C é constante arbitrária. Precisamos calcular
I=\int t^{2}e^{t/2}\,dt.
Usamos integração por partes duas vezes. Primeira passagem: tome u=t^{2}, dv=e^{t/2}dt então du=2t\,dt, v=2e^{t/2}. Assim
I=2t^{2}e^{t/2}-4\int t e^{t/2}\,dt.
Segunda passagem para J=\int t e^{t/2}\,dt: tome u=t, dv=e^{t/2}dt então du=dt, v=2e^{t/2}. Logo
J=2t e^{t/2}-4e^{t/2}.
Substituindo em I:
I=2t^{2}e^{t/2}-4(2t e^{t/2}-4e^{t/2})=e^{t/2}(2t^{2}-8t+16).

Passo 7

Voltar para a expressão de y e isolar.
Voltando a
y\,e^{t/2}=\frac{3}{2}I + C = \frac{3}{2}e^{t/2}(2t^{2}-8t+16)+C.
Simplificando o fator:
y\,e^{t/2}=e^{t/2}(3t^{2}-12t+24)+C.
Dividindo por e^{t/2} obtemos a solução geral
y(t)=3t^{2}-12t+24+C e^{-t/2},
onde C é constante arbitrária.

Passo 8

Interpretação e comportamento assintótico usando a solução geral.
Escrevemos a solução como
y(t)=y_{p}(t)+C e^{-t/2},
onde y_{p}(t)=3t^{2}-12t+24 é uma solução particular. A parte exponencial C e^{-t/2} tende a zero quando t\to\infty para qualquer C. Portanto
\lim_{t\to\infty}\bigl(y(t)-y_{p}(t)\bigr)=0,
ou seja, todas as soluções convergem exponencialmente para a curva y_{p}(t)=3t^{2}-12t+24 à medida que t\to\infty. Como y_{p}(t)\sim 3t^{2} para t grande, concluímos que todas as soluções divergem para +\infty obedecendo ao crescimento quadrático dominante:
y(t)\sim 3t^{2}\quad\text{quando }t\to\infty.

Resposta

Campo de direções: inclinações dadas por y'=\dfrac{3t^{2}-y}{2}; isóclina de inclinação zero é y=3t^{2}; abaixo dessa parábola os segmentos sobem, acima dela descem.
Solução geral: y(t)=3t^{2}-12t+24+C e^{-t/2}, onde C é constante arbitrária.
Comportamento quando t\to\infty: y(t)=3t^{2}-12t+24+o(1), ou seja y(t)\sim 3t^{2} e y(t)\to+\infty; a diferença para 3t^{2}-12t+24 decai como C e^{-t/2}\to0.

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