Efectua as operações e simplifica os resultados das seguintes expressões:
\left(\frac{2 x^{-1}-2^{-1} x}{x^{-1}-2^{-1}}\right)^{-2} \div\left(\frac{1}{2 x+x^{2}}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede que eu efectue as operações e simplifique o resultado da expressão
\left(\frac{2 x^{-1}-2^{-1} x}{x^{-1}-2^{-1}}\right)^{-2} \div\left(\frac{1}{2 x+x^{2}}\right)^{2}.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • Aparecem potências com expoente negativo, por ex. x^{-1} e 2^{-1}.
  • Há uma divisão entre duas expressões elevadas ao quadrado.
  • Precisarei manipular frações algébricas, simplificar factores comuns e observar possíveis restrições no domínio (valores de x que tornam expressões não definidas).

Passo 2

Primeiro vou reescrever as partes com expoentes negativos e 2^{-1} de forma mais explícita, usando a regra do expoente negativo: para qualquer a\neq0, a^{-1}=\dfrac{1}{a}. Então:
2x^{-1} = \frac{2}{x},\qquad 2^{-1}x=\frac{x}{2},\qquad x^{-1}=\frac{1}{x},\qquad 2^{-1}=\frac{1}{2}.
Substituindo na expressão original obtenho:
\left(\frac{\dfrac{2}{x}-\dfrac{x}{2}}{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}}\right)^{-2} \div\left(\frac{1}{2x+x^{2}}\right)^{2}.

Passo 3

Vou simplificar a fração interior, que chamarei de A:
A=\frac{\dfrac{2}{x}-\dfrac{x}{2}}{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}}.
Para cada numerador e denominador faço o mínimo comum múltiplo dos denominadores internos ( 2x) para juntar as diferenças:
  • No numerador:
\frac{2}{x}-\frac{x}{2}=\frac{4}{2x}-\frac{x^{2}}{2x}=\frac{4-x^{2}}{2x}.
  • No denominador:
\frac{1}{x}-\frac{1}{2}=\frac{2}{2x}-\frac{x}{2x}=\frac{2-x}{2x}.

Passo 4

Agora substituo esses resultados em A:
A=\frac{\dfrac{4-x^{2}}{2x}}{\dfrac{2-x}{2x}}.
Como ambos numerador e denominador têm o mesmo factor \dfrac{1}{2x}, ele cancela na divisão:
A=\frac{4-x^{2}}{2-x}.

Passo 5

Reconheço que 4-x^{2} é uma diferença de quadrados e factoriza como (2-x)(2+x). Assim:
A=\frac{(2-x)(2+x)}{2-x}.
Desde que 2-x\neq0 (ou seja, x\neq2), posso cancelar o factor comum (2-x), obtendo:
A=2+x.
Observação importante (vou detalhar domínio depois): esse cancelamento exige que x\neq2; além disso, já sabemos que x\neq0 porque havia x^{-1}.

Passo 6

Voltando à expressão original: ela é
A^{-2}\div\left(\frac{1}{2x+x^{2}}\right)^{2}.
Substituindo A=2+x, temos
(2+x)^{-2}\div\left(\frac{1}{2x+x^{2}}\right)^{2}.
Lembre que dividir por uma potência é multiplicar pelo inverso da potência; ou seja,
B\div C^{2}=B\cdot\left(C^{2}\right)^{-1}=B\cdot\left(C^{-1}\right)^{2}.
Aplicando aqui:
(2+x)^{-2}\div\left(\frac{1}{2x+x^{2}}\right)^{2}=(2+x)^{-2}\cdot\left(2x+x^{2}\right)^{2}.

Passo 7

Escrevo 2x+x^{2}=x(2+x). Assim,
\left(2x+x^{2}\right)^{2}=\big(x(2+x)\big)^{2}=x^{2}(2+x)^{2}.
Substituo na expressão:
(2+x)^{-2}\cdot x^{2}(2+x)^{2}.

Passo 8

Agora uso a regra de potências para multiplicar factores com a mesma base: (2+x)^{-2}(2+x)^{2}=(2+x)^{-2+2}=(2+x)^{0}=1 (desde que 2+x\neq0). Logo tudo se reduz a:
x^{2}\cdot 1 = x^{2}.

Passo 9

Resumo das restrições que apareceram ao longo da simplificação (importante para saber para quais x o resultado faz sentido):
  • x^{-1} exige x\neq0.
  • O denominador x^{-1}-2^{-1}=\dfrac{2-x}{2x} exige x\neq0 e x\neq2.
  • O termo 2x+x^{2}=x(2+x) no denominador da segunda fração exige x\neq0 e x\neq-2.
  • Além disso, ao simplificar A cancelámos (2-x), portanto não podemos ter x=2.
    Portanto o resultado simplificado x^{2} é válido para todos os x tais que x\neq0,\;x\neq2,\;x\neq-2.

Resposta

x^{2}

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