Efectua as operações e simplifica os resultados das seguintes expressões: \left(\frac{2 x^{-1}-2^{-1} x}{x^{-1}-2^{-1}}\right)^{-2} \div\left(\frac{1}{2 x+x^{2}}\right)^{2}
Passo 1
O enunciado pede que eu efectue as operações e simplifique o resultado da expressão
Aparecem potências com expoente negativo, por ex. x^{-1} e 2^{-1}.
Há uma divisão entre duas expressões elevadas ao quadrado.
Precisarei manipular frações algébricas, simplificar factores comuns e observar possíveis restrições no domínio (valores de x que tornam expressões não definidas).
Passo 2
Primeiro vou reescrever as partes com expoentes negativos e 2^{-1} de forma mais explícita, usando a regra do expoente negativo: para qualquer a\neq0, a^{-1}=\dfrac{1}{a}. Então:
Agora uso a regra de potências para multiplicar factores com a mesma base: (2+x)^{-2}(2+x)^{2}=(2+x)^{-2+2}=(2+x)^{0}=1 (desde que 2+x\neq0). Logo tudo se reduz a:
x^{2}\cdot 1 = x^{2}.
Passo 9
Resumo das restrições que apareceram ao longo da simplificação (importante para saber para quais x o resultado faz sentido):
x^{-1} exige x\neq0.
O denominador x^{-1}-2^{-1}=\dfrac{2-x}{2x} exige x\neq0 e x\neq2.
O termo 2x+x^{2}=x(2+x) no denominador da segunda fração exige x\neq0 e x\neq-2.
Além disso, ao simplificar A cancelámos (2-x), portanto não podemos ter x=2.
Portanto o resultado simplificado x^{2} é válido para todos os x tais que x\neq0,\;x\neq2,\;x\neq-2.