Determine o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty 2^n(2 n)! x^2 n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty2^n(2n)!,x^2n. Vamos usar o conteúdo de séries de potências e, em particular, o teste da razão para encontrar o raio (e, portanto, o intervalo) de convergência.

Passo 2

Identificamos o termo geral da série como un=2^n(2n)!,x^2n Para aplicar o teste da razão, formamos l|un+1/unr|.

Passo 3

Calculamos
l|un+1/unr|=2^n+1(2n+2)!,|x|^2n+2cdot(2n)!2^n,|x|^2n=2,|x|^2(2n+1)(2n+2)

Passo 4

Observamos que
limntoinfty2,|x|^2(2n+1)(2n+2)=0<1para todo xinR

Passo 5

Como o limite da razão é sempre menor que 1, a série converge absolutamente para qualquer valor de x. Portanto o raio de convergência é infinito.

Passo 6

Concluímos que o intervalo de convergência é todo o eixo real.

Resposta

(-\infty,,\infty)

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