a. z=4 x^2+3 x y+6 y^2, sujeito a x+y-56=0
b. z=4 x^2-2 x y+6 y^2, sujeito a x+y=72
c. z=26 x-3 x^2+5 x y-6 y^2+12 y, sujeito a 3 x+y=170
d. z=6 x^2-8 x y+3 y^2, sujeito a x+0,5 y=68
e. z=4 x^2-2 x y+6 y^2, sujeito a x+y=73
f. z=4 x^2-3 x+5 x y-8 y+2 y^2, sujeito a x=2 y
g. z=-5 x^2+7 x+10 x y+9 y-2 y^2, sujeito a y=5 x
h. U=Q1 Q2, quando p1=1, p2=4 e a pessoa tem um orçamento de m=120
i. U=Q1 Q2, quando p1=20, p2=2 e a pessoa tem um orçamento de m=240
j. U=Q1 Q2+Q1+2 Q2, quando p1=2, p2=5 e a pessoa tem um orçamento de m=51
k. u=x y+3 x+y, quando px=8, py=12 e a pessoa tem um orçamento de m=212
l. z=x y, sujeito a x+y=6
m. z=x1^2 x^2, sujeito a x1+4 x2=2
n. z=x y, sujeito a x+2 y=2
o. z=x(y+4), sujeito a x+y=8
p. z=x-3 y-x y, sujeito a x+y=6
q. z=7-y+x^2, sujeito a x+y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de $ x $ e $ y $ que maximizam ou minimizam a função $ z = 4x^{2} + 3xy + 6y^{2} $, sabendo que $ x + y = 56 $. Vamos usar conhecimentos de otimização com restrições para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a restrição $ x + y = 56 $ para expressar uma variável em termos da outra. Vou resolver para $ y $:
x + y = 56
Assim, conseguimos deixar tudo em função de $ x $.

Passo 3

Agora, vamos substituir $ y = 56 - x $ na função $ z $:
y = 56 - x
Isso simplifica a função $ z $ para uma expressão só em $ x $.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
z = 4x^2 + 168x - 3x^2 + 6(3136 - 112x + x^2)
z = (4x^2 - 3x^2 + 6x^2) + (168x - 672x) + 18816
z = 7x^2 - 504x + 18816
Agora temos $ z $ em função de $ x $.

Passo 5

Para encontrar o valor de $ x $ que otimiza $ z $, vamos derivar $ z $ em relação a $ x $ e igualar a zero:
x
Resolvendo para $ x $:
z
z

Passo 6

Com $ x = 36 $, usamos a restrição para encontrar $ y $:
x = 36

Resposta

Os valores que otimizam $ z $ são $ x = 36 $ e $ y = 20 $. Substituindo na função:
z
Então, $ z = 9744 $.

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