a.
, sujeito a
b.
, sujeito a
c.
, sujeito a
d.
, sujeito a
e.
, sujeito a
f.
, sujeito a
g.
, sujeito a
h.
, quando
a pessoa tem um orçamento de
i.
, quando
e a pessoa tem um orçamento de
j.
, quando
e a pessoa tem um orçamento de
k.
, quando
e a pessoa tem um orçamento de
l.
, sujeito a
m.
, sujeito a
n.
, sujeito a
o.
, sujeito a
p.
, sujeito a
q.
, sujeito a
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
n.
o.
p.
q.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de $ x $ e $ y $ que maximizam ou minimizam a função $ z = 4x^{2} + 3xy + 6y^{2} $, sabendo que $ x + y = 56 $. Vamos usar conhecimentos de otimização com restrições para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a restrição $ x + y = 56 $ para expressar uma variável em termos da outra. Vou resolver para $ y $:
Assim, conseguimos deixar tudo em função de $ x $.
Passo 3
Agora, vamos substituir $ y = 56 - x $ na função $ z $:
Isso simplifica a função $ z $ para uma expressão só em $ x $.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Agora temos $ z $ em função de $ x $.
Passo 5
Para encontrar o valor de $ x $ que otimiza $ z $, vamos derivar $ z $ em relação a $ x $ e igualar a zero:
Resolvendo para $ x $:
Passo 6
Com $ x = 36 $, usamos a restrição para encontrar $ y $:
Resposta
Os valores que otimizam $ z $ são $ x = 36 $ e $ y = 20 $. Substituindo na função:
Então, $ z = 9744 $.