Determine o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty(-1)^n+1 x^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty(-1)^n+1x^n. Este é um problema de séries de potências em cálculo, e vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência e depois testar se converge nos extremos.

Passo 2

Seja o termo geral an = (-1)^n+1x^n. Aplicando o teste da razão, calculamos
L = limntoinfty |an+1an| = limntoinfty |(-1)^(n+1)+1x^n+1(-1)^n+1x^n| = limntoinfty|x| = |x|
A série converge se L<1, ou seja, se |x|<1.

Passo 3

Agora precisamos testar os extremos x=1 e x=-1.
Para x=1, a série fica 1-1+1-1+cdots, que não converge no sentido usual.
Para x=-1, cada termo é (-1)^n+1(-1)^n = (-1)^2n+1 = -1, e a soma diverge também.

Passo 4

Como não há convergência em x=pm1, o intervalo de convergência é aberto.

Resposta

O intervalo de convergência é (-1,1).

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