Determine o intervalo de convergência das séries de potência abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{10^{n}}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{10^{n}}.
O conteúdo envolvido é o teste da razão para séries de potências, que nos dá o raio de convergência, seguido da análise dos extremos.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_n = \frac{(x-2)^n}{10^n}.
Aplicando o teste da razão, temos
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{(x-2)^{n+1}/10^{n+1}}{(x-2)^n/10^n}\right| = \left|\frac{x-2}{10}\right|.
A condição de convergência é L<1, isto é
\bigl|x-2\bigr|<10,
o que define o intervalo aberto (-8,12) e o raio de convergência R=10.

Passo 3

Verificamos agora os extremos:
Para x=-8 tem-se
\frac{(x-2)^n}{10^n} = \frac{(-10)^n}{10^n} = (-1)^n,
e a série \sum_{n=1}^\infty(-1)^n não converge (os somatórios oscilam).
Para x=12 tem-se
\frac{(x-2)^n}{10^n} = \frac{10^n}{10^n} = 1,
e a série \sum_{n=1}^\infty1 diverge.
Logo, nenhum extremo entra no intervalo de convergência.

Resposta

(-8,12)

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