Determine o intervalo de convergência das séries de potência abaixo: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{10^{n}}
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{10^{n}}.
O conteúdo envolvido é o teste da razão para séries de potências, que nos dá o raio de convergência, seguido da análise dos extremos.
Passo 2
Definimos o termo geral
a_n = \frac{(x-2)^n}{10^n}.
Aplicando o teste da razão, temos
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{(x-2)^{n+1}/10^{n+1}}{(x-2)^n/10^n}\right| = \left|\frac{x-2}{10}\right|.
A condição de convergência é L<1, isto é
\bigl|x-2\bigr|<10,
o que define o intervalo aberto (-8,12) e o raio de convergência R=10.