Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, justificando sua resposta:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\sqrt{n}}{n+5}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{\sqrt{n}}{n+5}.
O conteúdo principal aqui é o Critério de Leibniz para séries alternantes e, em seguida, verificar a convergência absoluta usando o teste da série-p ou comparação assintótica.

Passo 2

Definimos
a_{n} = \frac{\sqrt{n}}{n+5}.
Para aplicar o Critério de Leibniz, precisamos verificar primeiro que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
Note que
a_{n} = \frac{\sqrt{n}}{n+5} = \frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\frac{1}{1+\tfrac{5}{n}}
e portanto
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\frac{1}{1+5/n} =0.

Passo 3

Ainda pelo Critério de Leibniz, precisamos que a_n seja (eventualmente) decrescente. Considere
f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+5},\quad x>0.
Calculamos a derivada:
f'(x) =\frac{(x+5)\,\frac{1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}\cdot1}{(x+5)^{2}} =\frac{\tfrac{x+5}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}}{(x+5)^{2}} =\frac{5-x}{2\sqrt{x}\,(x+5)^{2}}.
Para x>5 temos 5-x<0, logo f'(x)<0. Assim, a partir de n=6, a sequência (a_n) é decrescente.

Passo 4

Como
  1. \lim_{n\to\infty}a_{n}=0,
  2. a_{n} é decrescente para n\ge6,
    o Critério de Leibniz garante que
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_{n}
converge.

Passo 5

Para verificar a convergência absoluta, analisamos
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|(-1)^{n}a_{n}\bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}}{n+5}.
Observe que, para n grande,
\frac{\sqrt{n}}{n+5}\sim\frac{\sqrt{n}}{n}=\frac{1}{\sqrt{n}},
e sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}
é uma série-p com p=\tfrac12<1, logo diverge. Pelo Teste de Comparação Limite, como
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}/(n+5)}{1/\sqrt{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+5}=1,
a série \sum a_n também diverge.

Passo 6

Concluímos que a série original converge pelo Critério de Leibniz, mas não converge absolutamente.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo Critério de Leibniz e diverge em módulo).

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