Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, justificando sua resposta:
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência da série
O conteúdo principal aqui é o Critério de Leibniz para séries alternantes e, em seguida, verificar a convergência absoluta usando o teste da série-p ou comparação assintótica.
Passo 2
Definimos
Para aplicar o Critério de Leibniz, precisamos verificar primeiro que
Note que
e portanto
Passo 3
Ainda pelo Critério de Leibniz, precisamos que
seja (eventualmente) decrescente. Considere
Calculamos a derivada:
Para
temos
, logo
. Assim, a partir de
, a sequência
é decrescente.
Passo 4
Como
-
, -
é decrescente para ,
o Critério de Leibniz garante que
converge.
Passo 5
Para verificar a convergência absoluta, analisamos
Observe que, para
grande,
e sabemos que
é uma série-p com
, logo diverge. Pelo Teste de Comparação Limite, como
a série
também diverge.
Passo 6
Concluímos que a série original converge pelo Critério de Leibniz, mas não converge absolutamente.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge pelo Critério de Leibniz e diverge em módulo).