Determine o intervalo de convergência das séries de potência abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} n!(x-4)^{n}

Passo 1

Temos a série de potência centrada em x_{0}=4:
\sum_{n=1}^{\infty}n!\,(x-4)^{n}.
Para determinar o intervalo de convergência de uma série de potências \sum a_{n}(x-x_{0})^{n}, usamos normalmente o Teste da Razão, que envolve calcular
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}(x-x_{0})^{n+1}}{a_{n}(x-x_{0})^{n}}\right|
e exigir L<1 para convergência.

Passo 2

Aqui a_{n}=n!\) e \(x_{0}=4\). Então \[\left|\frac{a_{n+1}(x-4)^{n+1}}{a_{n}(x-4)^{n}}\right| =\frac{(n+1)!\,\bigl|x-4\bigr|^{n+1}}{n!\,\bigl|x-4\bigr|^{n}} =(n+1)\,\bigl|x-4\bigr|.
Tomando o limite quando n\to\infty:
L =\lim_{n\to\infty}(n+1)\,\bigl|x-4\bigr| =\begin{cases} 0, &\text{se \(\bigl|x-4\bigr|=0,}\ \infty, &se \bigl|x-4\bigr|>0. \end{cases}]

Passo 3

Para convergência precisamos de L<1.
  • Se \bigl|x-4\bigr|>0, então L=\infty\ge1 e a série diverge.
  • Se \bigl|x-4\bigr|=0, isto é x=4, então L=0<1 e a série converte (na prática, todos os termos para n\ge1 são zero).

Resposta

O raio de convergência é R=0 e o único ponto de convergência é x=4. Portanto, o “intervalo” de convergência reduz-se ao ponto
\{4\}.

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