Descreva em coordenadas cilíndricas e faça um esboço das regiões:
z=4-5 r^{2}

Passo 1

O enunciado pede para descrever em coordenadas cilíndricas a superfície
z = 4 - 5r^{2}
e fazer um esboço tanto dessa superfície quanto de sua projeção no plano xy. Vamos usar a definição de coordenadas cilíndricas
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
e depois identificar a região de projeção no plano xy.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas a equação já está dada em termos de r. Podemos então dizer que a superfície S é
S:\quad z = 4 - 5r^{2},
para r\ge0 e \theta\in[0,2\pi). Geometricamente, trata-se de um paraboloide circular voltado para baixo, com vértice em (r,z)=(0,4).

Passo 3

Para determinar até onde o paraboloide intercepta o plano z=0, basta resolver
0 = 4 - 5r^{2} \quad\Longrightarrow\quad r^{2} = \frac{4}{5} \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}.
Logo a projeção D de S sobre o plano xy é o disco
D: \quad 0 \le r \le \frac{2}{\sqrt{5}},\quad 0 \le \theta < 2\pi.

Passo 4

Esboço:
  1. Desenhe o eixo z vertical e o plano xy.
  2. No plano xy, marque um círculo de raio 2/\sqrt{5}.
  3. A partir do vértice (0,0,4) desenhe linhas curvas que vão abaixando até encontrarem o círculo de raio 2/\sqrt{5} no plano z=0. Assim se forma o paraboloide invertido.

Resposta

Em coordenadas cilíndricas a superfície e sua projeção ficam:
S: \{(r,\theta,z)\mid z = 4 - 5r^{2},\;0 \le r \le \tfrac{2}{\sqrt{5}},\;0 \le \theta < 2\pi\},
D: \{(r,\theta)\mid 0 \le r \le \tfrac{2}{\sqrt{5}},\;0 \le \theta < 2\pi\}.
O esboço é um paraboloide invertido com vértice em (0,0,4) encaixado sobre o disco de raio 2/\sqrt{5} no plano z=0.

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