Descreva em coordenadas cilíndricas e faça um esboço das regiões:
Passo 1
O enunciado pede para descrever em coordenadas cilíndricas a superfície
e fazer um esboço tanto dessa superfície quanto de sua projeção no plano
. Vamos usar a definição de coordenadas cilíndricas
e depois identificar a região de projeção no plano
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas a equação já está dada em termos de
. Podemos então dizer que a superfície
é
para
e
. Geometricamente, trata-se de um paraboloide circular voltado para baixo, com vértice em
.
Passo 3
Para determinar até onde o paraboloide intercepta o plano
, basta resolver
Logo a projeção
de
sobre o plano
é o disco
Passo 4
Esboço:
- Desenhe o eixo
vertical e o plano . - No plano
, marque um círculo de raio . - A partir do vértice
desenhe linhas curvas que vão abaixando até encontrarem o círculo de raio no plano . Assim se forma o paraboloide invertido.
Resposta
Em coordenadas cilíndricas a superfície e sua projeção ficam:
O esboço é um paraboloide invertido com vértice em
encaixado sobre o disco de raio
no plano
.