Determine o intervalo de convergência das séries de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 \cdot 3 \cdot 4 \ldots(n+1) x^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2\cdot3\cdot4\cdots(n+1)\,x^n}{n!}.
O conteúdo é série de potências e vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência, depois testar os extremos.

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral. Note que
2\cdot3\cdot4\cdots(n+1)=\frac{(n+1)!}{1!}=(n+1)!,
então
\frac{2\cdot3\cdots(n+1)\,x^n}{n!} =\frac{(n+1)!}{n!}\,x^n=(n+1)\,x^n.
A série fica
\sum_{n=1}^\infty (n+1)\,x^n.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão. Seja a_n=(n+1)x^n. Então
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+2)\,|x|^{\,n+1}}{(n+1)\,|x|^n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n+1}\;|x| =|x|.
Para convergência é necessário |x|<1. Logo o raio de convergência é R=1.

Passo 4

Agora testamos os extremos:
Para x=1 a série vira
\sum_{n=1}^\infty (n+1),
cujos termos não tendem a zero, logo diverge.
Para x=-1 a série é
\sum_{n=1}^\infty (n+1)(-1)^n,
e novamente \lim_{n\to\infty}(n+1)(-1)^n não existe nem é zero, logo diverge.

Resposta

A série converge somente para
(-1,1).

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