QUESTÃO 1 - Associe corretamente cada funçāo ao seu domínio:
(A) f(x, y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+9}
(A) D(f)=R^{2}
(B) f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}-9}
(B) D(f)=\left\{(x, y) \in R^{2} \mid x^{2}+y^{2} \geq 9\right\}
(C) f(x, y)=\ln \left(9-x^{2}-y^{2}\right)
(C) D(f)=\left\{(x, y) \in R^{2} \mid x^{2}+y^{2}<9\right\}
(D) f(x, y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}-9}
(D) D(f)=\left\{(x, y) \in R^{2} \mid x^{2}+y^{2} \neq 9\right\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio de quatro funções reais de duas variáveis. O conteúdo envolve verificar onde o denominador de uma fração não se anula, onde o radicando de uma raiz quadrada é não-negativo e onde o argumento de um logaritmo é estritamente positivo.

Passo 2

Para a função
f(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+9}
o denominador é
x^{2}+y^{2}+9\ge9>0
para todo (x,y). Logo, não há ponto que anule o denominador e o domínio é todo \mathbb R^{2}.

Passo 3

Para a função
f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}-9}
o radicando deve ser não-negativo:
x^{2}+y^{2}-9\ge0 \;\Longleftrightarrow\; x^{2}+y^{2}\ge9.
Portanto o domínio é \{(x,y)\in\mathbb R^{2}\mid x^{2}+y^{2}\ge9\}.

Passo 4

Para a função
f(x,y)=\ln\bigl(9-x^{2}-y^{2}\bigr)
o argumento do logaritmo deve ser estritamente positivo:
9-x^{2}-y^{2}>0 \;\Longleftrightarrow\; x^{2}+y^{2}<9.
Logo o domínio é \{(x,y)\in\mathbb R^{2}\mid x^{2}+y^{2}<9\}.

Passo 5

Para a função
f(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}-9}
o denominador não pode ser zero:
x^{2}+y^{2}-9\neq0 \;\Longleftrightarrow\; x^{2}+y^{2}\neq9.
Assim o domínio é \{(x,y)\in\mathbb R^{2}\mid x^{2}+y^{2}\neq9\}.

Resposta

(A) D(f)=\mathbb R^{2}
(B) D(f)=\{(x,y)\in\mathbb R^{2}\mid x^{2}+y^{2}\ge9\}
(C) D(f)=\{(x,y)\in\mathbb R^{2}\mid x^{2}+y^{2}<9\}
(D) D(f)=\{(x,y)\in\mathbb R^{2}\mid x^{2}+y^{2}\neq9\}

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