Determine se cada integral é convergente ou divergente.
\int_{0}^{\infty} 2 e^{-x} \operatorname{sen}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{0}^{\infty}2e^{-x}\sin(x)\,dx
é convergente ou divergente. Estamos no contexto de integrais impróprias com limite superior infinito e aplicaremos o teste de comparação absoluta, aproveitando que e^{-x} decai exponencialmente e \sin(x) é limitada.

Passo 2

Para usar o teste de comparação absoluta, observamos que, para todo x\ge0,
\bigl|2e^{-x}\sin(x)\bigr|\le 2e^{-x}\cdot\bigl|\sin(x)\bigr|\le 2e^{-x}.
Sabemos que
\int_{0}^{\infty}2e^{-x}\,dx =2\int_{0}^{\infty}e^{-x}\,dx =2\bigl[-e^{-x}\bigr]_{0}^{\infty} =2\bigl(0 - (-1)\bigr) =2,
ou seja, é finita.

Passo 3

Como \displaystyle\int_{0}^{\infty}2e^{-x}\,dx converge, pela comparação absoluta a integral original também converge.

Resposta

A integral é convergente.

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