Determine o intervalo de convergência das séries de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1}(-2 x)^{n-1}

Passo 1

Temos a série de potências centrada em 0 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1}(-2x)^{n-1},
e queremos encontrar o intervalo de convergência. O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar o Teste da Raiz (ou Razão) para achar o raio de convergência, e depois testar os extremos.

Passo 2

Primeiro, reindexamos para escrever no formato padrão \sum_{k=0}^\infty a_k x^k. Fazendo k=n-1, temos n=k+1 e
(-2x)^{n-1}=(-2x)^k, \quad \frac{n}{n+1}=\frac{k+1}{k+2}.
Assim a série fica
\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \quad\text{com}\quad a_k = \frac{k+1}{k+2}(-2)^k.

Passo 3

Aplicamos o Teste da Raiz:
\lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{|a_k x^k|} = \lim_{k\to\infty} \Bigl|\tfrac{k+1}{k+2}(-2)^k x^k\Bigr|^{1/k} = \lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{k+2}^{1/k}\,\bigl|{-2x}\bigr| =2\,|x|.
Para convergir, precisamos de
2\,|x|<1 \quad\Longrightarrow\quad |x|<\tfrac12.
Logo, o raio de convergência é R=\tfrac12.

Passo 4

Agora testamos os extremos x=\pm\tfrac12:
  1. Para x=\tfrac12:
(-2x)^{n-1}=(-2\cdot\tfrac12)^{n-1}=(-1)^{n-1},
a série vira
\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{n}{n+1}.
Os termos em valor absoluto são \frac{n}{n+1}\to1\neq0, logo não satisfazem a condição necessária de convergência, divergindo.
  1. Para x=-\tfrac12:
(-2x)^{n-1}=(-2\cdot(-\tfrac12))^{n-1}=1^{\,n-1}=1,
a série é
\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1},
cujo termo geral tende a 1\neq 0, portanto também diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é
\boxed{(-\tfrac12,\;\tfrac12)}.

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