Determine o intervalo de convergência das séries de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^{n-1}}{3^{n-1}}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências centrada em x=3:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-3)^{n-1}}{3^{n-1}}.
O conteúdo envolvido é reconhecimento de série geométrica e determinação do raio e intervalo de convergência.

Passo 2

Reindexando a soma com k=n-1, obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-3)^{n-1}}{3^{n-1}} =\sum_{k=0}^{\infty}\biggl(\frac{x-3}{3}\biggr)^{k},
que é uma série geométrica de razão r=(x-3)/3.

Passo 3

Uma série geométrica \sum_{k=0}^{\infty}r^{k} converge exatamente quando \lvert r\rvert<1. Assim,
\left\lvert\frac{x-3}{3}\right\rvert<1 \quad\Longrightarrow\quad \lvert x-3\rvert<3.

Passo 4

A desigualdade \lvert x-3\rvert<3 equivale a
3-3 < x < 3+3 \quad\Longrightarrow\quad 0 < x < 6,
logo o raio de convergência é R=3 e o intervalo centrado em 3 é (0,6), antes de testar os extremos.

Passo 5

Nos extremos do intervalo:
– Para x=0 a razão é r=(0-3)/3=-1, e a série torna-se \sum(-1)^{k}, que não converge.
– Para x=6 a razão é r=(6-3)/3=1, e a série torna-se \sum1, que também não converge.

Resposta

O intervalo de convergência é (0,6).

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