Determine o intervalo de convergência das séries de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{5 n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{5n}}{n!}.
O conteúdo usado será o teste da razão (d’Alembert) para séries de potências, que nos dá o raio de convergência R.

Passo 2

Denotando a_n=\frac{x^{5n}}{n!}, aplicamos o teste da razão:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{5(n+1)}/(n+1)!}{|x|^{5n}/n!} =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^5}{n+1} =0.

Passo 3

Como o limite da razão é 0 para todo x, temos 0<1 independentemente do valor de x. Portanto o raio de convergência é infinito e a série converge para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

(-\infty,\infty)

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