Determine o intervalo de convergência das séries de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(3 x)^{n}}{(2 n)!}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(3x)^{n}}{(2n)!}.
O conteúdo aqui é teste da razão (d’Alembert) para séries de potências, que nos fornece o raio de convergência.

Passo 2

Denotando o termo geral por
a_n = \frac{(3x)^{n}}{(2n)!},
aplicamos o teste da razão, calculando
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{(3x)^{n+1}/(2n+2)!}{(3x)^{n}/(2n)!}\right| = \frac{3\,|x|}{(2n+2)(2n+1)}.

Passo 3

Tomando o limite quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{3\,|x|}{(2n+2)(2n+1)}=0.
Como esse limite é menor que 1 para todo x\in\mathbb{R}, a série converge absolutamente para qualquer valor real de x.

Passo 4

Concluímos, portanto, que o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é todo o eixo real.

Resposta

(-\infty,\infty)

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