Determine o intervalo de convergência \sum_{n=2}^{n} \frac{(-1)^{n} x^{n}}{\ln (n)}
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências centrada em zero
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}x^{n}}{\ln(n)}.
Este é um exercício sobre séries de potências. Para determinar o intervalo de convergência, vamos (i) usar o teste da razão para achar o raio de convergência R e depois (ii) examinar separadamente o comportamento nos pontos extremos x=\pm1.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão sobre os coeficientes a_n=\frac{(-1)^n}{\ln(n)}. Considere
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}x^{\,n+1}}{a_nx^n}\right| =\lim_{n\to\infty}\bigl|x\bigr|\frac{\ln(n)}{\ln(n+1)}.
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\tfrac{\ln(n)}{\ln(n+1)}=1, obtemos
L = |x|.
Passo 3
Pelo teste da razão, a série converge se L<1, ou seja, se
|x|<1.
Logo, o raio de convergência é
R = 1.
Passo 4
Se |x|>1, então L>1 e a série diverge. Portanto, a única parte pendente é analisar os extremos do intervalo [-1,1].
Passo 5
Para x=1, a série fica
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\ln(n)}.
Este é um exemplo clássico de série alternada. Note que b_n = 1/\ln(n) é positiva, decrescente (para n grande) e satisfaz \lim_{n\to\infty}b_n=0. Pelo Critério de Leibniz (série alternada), a série converge condicionalmente em x=1.
Como \tfrac{1}{\ln(n)} é uma sequência positiva que decresce muito lentamente e \displaystyle\sum\frac{1}{\ln(n)} diverge (por exemplo, pelo teste da condensação de Cauchy ou pelo teste da integral), a série diverge em x=-1.