Esboce a região de integração e calcule as integrais duplas abaixo.
\int_{0}^{1} \int_{x}^{2 x}(2 x+2 y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração e calcular
\int_{0}^{1}\int_{x}^{2x}(2x+2y)\,dy\,dx.
O conteúdo envolve integrais iteradas e interpretação geométrica da região \displaystyle D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;x\le y\le2x\}.

Passo 2

Esboce a região D no plano xy:
– Trace a reta \,y=x e a reta \,y=2x partindo da origem.
– Restrinja-se ao segmento de cada reta para 0\le x\le1.
– A região de integração é o “fachete” entre essas duas retas, desde (0,0) até as interseções em (1,1) e (1,2).

Passo 3

Calcule a integral interna em y:
\int_{y=x}^{2x}(2x+2y)\,dy =2x\int_{x}^{2x}dy \;+\;2\int_{x}^{2x}y\,dy
=2x\bigl[\,y\bigr]_{x}^{2x} \;+\;2\Bigl[\frac{y^{2}}{2}\Bigr]_{x}^{2x} =2x(2x - x)\;+\;\bigl[(2x)^{2}-x^{2}\bigr]
=2x^{2} + (4x^{2}-x^{2}) =5x^{2}.

Passo 4

Agora integre em x:
\int_{0}^{1}5x^{2}\,dx =5\Bigl[\frac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{5}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{3}

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