Nos exercícios abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla.
\int_{0}^{2 \sqrt{\ln 3}} \int_{y / 2}^{\sqrt{\ln 3}} \mathrm{e}^{x^{2}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração definida por
0 \le y \le 2\sqrt{\ln 3}, \quad \frac{y}{2} \le x \le \sqrt{\ln 3},
inverter a ordem de integração e calcular
\int_{0}^{2 \sqrt{\ln 3}} \int_{y / 2}^{\sqrt{\ln 3}} e^{x^{2}} \,dx\,dy.
O conteúdo envolve duplas integrais e troca de ordem de integração.

Passo 2

Para entender a região, note que x\ge y/2 é equivalente a y\le2x. Em y-primeiro temos
0\le y\le 2\sqrt{\ln3}, \quad \frac y2\le x\le \sqrt{\ln3}.
Em um esboço, é o triângulo limitado pelas retas y=0, x=\sqrt{\ln3} e y=2x.

Passo 3

Invertendo a ordem, primeiro fixamos x: vai de x=0 até x=\sqrt{\ln3}. Para cada x, y varia de 0 até 2x. Assim
\int_{0}^{2 \sqrt{\ln 3}} \int_{y / 2}^{\sqrt{\ln 3}} e^{x^{2}} \,dx\,dy = \int_{0}^{\sqrt{\ln 3}} \int_{0}^{2x} e^{x^{2}} \,dy\,dx.

Passo 4

Calculemos
\int_{0}^{\sqrt{\ln 3}} \int_{0}^{2x} e^{x^{2}} \,dy\,dx =\int_{0}^{\sqrt{\ln 3}} \bigl[e^{x^{2}}\,y\bigr]_{y=0}^{y=2x}\,dx =\int_{0}^{\sqrt{\ln 3}} 2x\,e^{x^{2}}\,dx.
Fazendo a substituição u=x^{2}, du=2x\,dx, os limites vão de u=0 a u=\ln3, logo
\int_{0}^{\sqrt{\ln 3}}2x\,e^{x^{2}}\,dx =\int_{0}^{\ln3}e^{u}\,du =\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{\ln3} = e^{\ln3}-e^{0} =3-1=2.

Resposta

O valor da integral dupla é 2.

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