Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(l)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências . Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de potências, especificamente os testes de convergência como o Teste da Razão. Precisamos encontrar o valor de para o qual a série converge.
Passo 2
Primeiro, aplicamos o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série vai convergir.
Calculamos o limite:
onde .
Substituindo:
Passo 3
Simplificando o limite:
L = |x| cdot 1 cdot 1 = |x|
Para a série convergir pelo Teste da Razão, precisamos que |x| < 1 . Assim:
Portanto, o raio de convergência é igual a 1.
Passo 4
Agora, vamos verificar a convergência nos extremos do intervalo sumn=2^infty (-1)^n+1 1n(ln n)^2 e sumn=2^infty (-1)^n+1 (-1)^nn(ln n)^2 = sumn=2^infty -1n(ln n)^2 .
Para :
Essa é uma série alternada onde os termos são decrescentes e tendem a zero. Pelo Teste da Série Alternada, a série converge.
Para :
Essa é uma série seriamente convergente pois converge por comparação com a integral .
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .