Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(l) sumn=2^+infty(-1)^n+1 x^nn(ln n)^2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências . Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de potências, especificamente os testes de convergência como o Teste da Razão. Precisamos encontrar o valor de para o qual a série converge.

Passo 2

Primeiro, aplicamos o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de L = limn to infty | an+1an | a série vai convergir.
Calculamos o limite:
L = limn to infty | x^n+1(n+1)(ln (n+1))^2 cdot n(ln n)^2x^n | = |x| cdot limn to infty nn+1 ( ln nln (n+1) )^2
onde .
Substituindo:

Passo 3

Simplificando o limite:
L = |x| cdot 1 cdot 1 = |x|
Para a série convergir pelo Teste da Razão, precisamos que |x| < 1 . Assim:
Portanto, o raio de convergência é igual a 1.

Passo 4

Agora, vamos verificar a convergência nos extremos do intervalo sumn=2^infty (-1)^n+1 1n(ln n)^2 e sumn=2^infty (-1)^n+1 (-1)^nn(ln n)^2 = sumn=2^infty -1n(ln n)^2 .
  • Para :
Essa é uma série alternada onde os termos são decrescentes e tendem a zero. Pelo Teste da Série Alternada, a série converge.
  • Para :
Essa é uma série seriamente convergente pois converge por comparação com a integral .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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