Em biologia, as derivadas são usadas para modelar a taxa de variação de diversas funções, como a taxa de crescimento populacional, a velocidade de reação enzimática e a difusão de substâncias. Considere que a população de uma espécie de bactérias em um ambiente cresce de acordo com a função
, onde
é a população no tempo
(em horas) e t é o tempo decorrido. Qual das seguintes expressões representa corretamente a taxa instantânea de crescimento populacional no tempo t?
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como a população de bactérias cresce ao longo do tempo. A função que representa essa população é
, onde
é a população no tempo
(em horas). O que a gente precisa descobrir é qual das opções dadas mostra corretamente a taxa instantânea de crescimento dessa população, ou seja, a derivada de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a taxa de variação dessa função naquele ponto. No contexto da biologia, como aqui, a derivada da população em relação ao tempo nos mostra quão rápido a população está crescendo naquele instante.
Passo 3
Nossa função é
. Para encontrar a taxa de crescimento, queremos calcular a derivada dessa função em relação a
. A derivada de
em relação a
é
, onde
é uma constante.
Passo 4
Aplicando a regra da derivada à nossa função:
Como
é uma constante, podemos multiplicar pela derivada de
:
Passo 5
Agora, calculamos a derivada de
:
Então, substituindo de volta:
Resposta
A expressão correta para a taxa instantânea de crescimento populacional no tempo
é:
Alternativa C)