Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(d) sumn=1^+infty n^25^n(x-1)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada por:
sumn=1^+infty n^25^n(x-1)^n
Isso está trabalhando com séries de potências, um tópico de cálculo que estuda para quais valores de a série converge (ou seja, dá um resultado finito). Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão ( ) que nos ajuda a encontrar o raio de convergência e, a partir dele, o intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. A série geral tem termos da forma:
an = n^25^n(x-1)^n
Precisamos calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |

Passo 3

Vamos substituir an+1an = (n+1)^25^n+1(x-1)^n+1 cdot 5^nn^2(x-1)^n = (n+1)^25 cdot n^2 cdot |x-1| e :

Passo 4

Simplificando a expressão:
an+1an = (n+1)^25n^2 |x-1|
Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty (n+1)^25n^2 |x-1| = 15 |x-1| tende ao infinito:
Isso porque tende a 1 quando vai para o infinito.

Passo 5

Para a série convergir, precisamos que 15 |x-1| < 1 :
|x-1| < 5
Resolvendo essa desigualdade:
Isso nos dá o raio de convergência .

Passo 6

Agora, para achar o intervalo de convergência, usamos a desigualdade:
|x - 1| < 5 implies -5 < x - 1 < 5 implies -4 < x < 6
Então, o intervalo preliminar é . Porém, temos que verificar as pontas e para ver se a série converge nesses pontos.

Passo 7

Verificando sumn=1^+infty n^25^n(-4-1)^n = sumn=1^+infty n^25^n(-5)^n = sumn=1^+infty n^2 (-1)^n :
Substituindo na série:
sumn=1^+infty n^25^n(6-1)^n = sumn=1^+infty n^25^n5^n = sumn=1^+infty n^2
Essa série alternada não converge, já que cresce sem limite.
Verificando :
Substituindo na série:
Essa também diverge, pois a soma de para indo ao infinito é infinita.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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