Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(k)
(k)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir o intervalo e o raio de convergência da série de potências
. Isso envolve entender sobre convergência de séries e usar alguns testes de convergência para séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a série. Temos
. Isso é uma série de potências onde cada termo depende de
. Para encontrar o raio de convergência, usamos o Teste da Raiz ou o Teste da Razão. Vou optar pelo Teste da Raiz aqui.
Passo 3
O Teste da Raiz diz que para uma série
, a série converge se o limite
for menor que 1. Vamos aplicar isso na nossa série.
Aqui,
. Então,
.
Calculando a raiz
-ésima:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 5
Segundo o Teste da Raiz, para a série convergir, precisamos que:
Resolvendo essa desigualdade:
Isso nos dá o raio de convergência
. O intervalo de convergência inicialmente é
.
Passo 6
Agora, vamos verificar os extremos do intervalo, ou seja,
e
.
- Para
:
Essa é uma série alternada com termos decrescentes e limitação a zero, então converge pelo Teste da Série Alternada.
- Para
:
Aqui, temos uma p-série com
, que também converge.
Resposta
O intervalo de convergência é
e o raio de convergência é
.