Encontre a resposta de entrada nula e estado nulo e determine a sua estabilidade usando a transformada Z (3,5 pontos)
y[n+2]+y[n+1]+4,25 y[n]=x[n]+x[n+2]
Com y[-1]=1 y[-2]=2 e x[n]=2 u[n]

Passo 1

Beleza, o enunciado manda resolver a equação a diferenças
y[n+2]+y[n+1]+4,25,y[n]=x[n]+x[n+2]
com condições iniciais , e entrada .
Conteúdo: Transformada Z unilateral, resposta de entrada nula (zero‐input) e resposta de estado nulo (zero‐state), inversão por frações parciais e teste de estabilidade via polos.
O que vamos usar:
  • Propriedade de deslocamento da Transformada Z unilateral.
  • Separar .
  • Raízes do polinômio característico e soma de exponenciais complexas.

Passo 2

Aplicando a Z unilateral em
y[n+2]to z^2Y(z)-z^2y[-1]-z,y[-2], y[n+1]to zY(z)-z,y[-1], y[n]to Y(z),
e em l(z^2+z+4.25r)Y(z) -l[z^2cdot1+zcdot2 + zcdot1r] = X(z)l(1+z^2r) (como Y(z) =X(z),(1+z^2)z^2+z+4.25 ;+;z^2+3zz^2+z+4.25 ;=;YS(z)+YI(z) ), obtemos
Então

Passo 3

Detalhando cada parcela:
  1. Zero‐input:
YI(z)=z^2+3zz^2+z+4.25
  1. Zero‐state:
X(z)=21-z^-1=2zz-1, YS(z)=2z,(1+z^2)(z-1),(z^2+z+4.25)

Passo 4

Achamos primeiro as raízes do denominador comum
z^2+z+4.25=0 Longrightarrow r1,2=-1pm j42=-0.5pm j2,
com YI(z) =z^2+3z(z-r1)(z-r2) =Azz-r1+Bzz-r2 ;Longrightarrow; yI[n] =A,r1^n + B,r2^n .
Para A=-4.75-0.125,j, B=-4.75+0.125,j, , escreve‐se
boxedyI[n] =l(-4.75-0.125,jr),( -0.5+2j)^n +l(-4.75+0.125,jr),( -0.5-2j)^n;
Usando as condições iniciais (ou comparando polinômios) encontra‐se
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Passo 5

Para 2z(1+z^2)(z-1)(z-r1)(z-r2) =Dz-1+Ez-r1+Fz-r2 fazemos frações parciais em
D =l(z-1)YS(z)r|z=1 =2cdot1,(1+1)1^2+1+4.25 =46.25=0.64
Calculando resíduo em E=0.96+0.405,j, F=0.96-0.405,j
boxedyS[n] =0.64cdot1^n +l(0.96+0.405,jr),( -0.5+2j)^n +l(0.96-0.405,jr),( -0.5-2j)^n;
Em e acham‐se
Invertendo,

Passo 6

Resposta total
y[n]=yI[n]+yS[n]
Estabilidade: os polos estão em (módulo ) e em . Como há polo fora do círculo unitário, o sistema é instável.

Resposta

Zero‐input:
yI[n] =l(-4.75-0.125,jr),( -0.5+2j)^n +l(-4.75+0.125,jr),( -0.5-2j)^n
Zero‐state:
yS[n] =0.64 +l(0.96+0.405,jr),( -0.5+2j)^n +l(0.96-0.405,jr),( -0.5-2j)^n
O sistema é instável (pólos fora do círculo unitário).

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