Encontre a resposta de entrada nula e estado nulo e determine a sua estabilidade usando a transformada (3,5 pontos)
Com e
Passo 1
Beleza, o enunciado manda resolver a equação a diferenças
com condições iniciais , e entrada .
Conteúdo: Transformada Z unilateral, resposta de entrada nula (zero‐input) e resposta de estado nulo (zero‐state), inversão por frações parciais e teste de estabilidade via polos.
O que vamos usar:
Propriedade de deslocamento da Transformada Z unilateral.
Separar .
Raízes do polinômio característico e soma de exponenciais complexas.
Passo 2
Aplicando a Z unilateral em
e em (como ), obtemos
Então
Passo 3
Detalhando cada parcela:
Zero‐input:
Zero‐state:
Passo 4
Achamos primeiro as raízes do denominador comum
com .
Para , escreve‐se
Usando as condições iniciais (ou comparando polinômios) encontra‐se
logo
Passo 5
Para fazemos frações parciais em
Calculando resíduo em dá
Em e acham‐se
Invertendo,
Passo 6
Resposta total
y[n]=yI[n]+yS[n]
Estabilidade: os polos estão em (módulo ) e em . Como há polo fora do círculo unitário, o sistema é instável.