Como \lim_{n\to\infty} n^{1/n}=1, segue \lim_{n\to\infty}n^{-2/n}=1. Portanto
\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=1.
Logo 1/R=1 e
R=1.
Explicação didática curta: o coeficiente decresce como 1/n^2 (que é subexponencial), então o raio de convergência é 1. Isso significa convergência absoluta para |x-1|<1 e precisa testar |x-1|=1 separadamente.
Passo 3
Determinar a convergência da série de f(x) nos pontos extremos |x-1|=1.
Os pontos extremos são x-1=\pm1, isto é x=2 e x=0.
Em x=2 temos (x-1)^n=1^n=1 e a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}},
que é uma série p-serie com p=2>1. Pelo teste p-série, converge (na verdade converge absolutamente).
Em x=0 temos (x-1)^n=(-1)^n e a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.
Tomando valor absoluto obtém-se \sum 1/n^{2}, que converge; portanto a série em x=0 converge absolutamente também.
Conclusão deste passo: a série de f(x) converge absolutamente para |x-1|<1 e converge também em ambos os extremos x=0 e x=2. Assim o conjunto de convergência (intervalo real) é |x-1|\le 1, isto é x\in[0,2].
Passo 4
Derivar termo a termo para obter f'(x) e justificar por que isso é permitido.
A regra geral: dentro do raio de convergência de uma série de potências a série pode ser diferenciada termo a termo, produzindo outra série de potências com o mesmo raio de convergência. Justificativa rápida (intuição): a série converge uniformemente em qualquer intervalo fechado contido em |x-1|<R, o que permite diferenciar termo a termo.
Podemos reindexar para escrever em forma padrão (x-1)^{m}:
fazendo m=n-1 (então n=m+1):
f'(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(x-1)^{m}}{m+1}.
Passo 5
Determinar o raio de convergência de f'(x).
Pelo teorema, a diferenciação de séries de potências preserva o raio de convergência, então o raio de f'(x) também é R=1.
Se preferir ver direto: os coeficientes da série de f'(x) são b_m=\dfrac{1}{m+1}. Calculando \limsup |b_m|^{1/m}=\lim (m+1)^{-1/m}=1, logo raio 1.
Portanto f'(x) converge (ao menos) para |x-1|<1; falta testar extremos x=0 e x=2.
Passo 6
Testar convergência de f'(x) nos extremos x=0 e x=2.
Em x=2 temos (x-1)^{n-1}=1^{n-1}=1 e a série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica e diverge. Logo f'(x) diverge em x=2.
Em x=0 temos (x-1)^{n-1}=(-1)^{n-1} e a série é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}.
Esta é a série harmônica alternada. Pelo critério de Leibniz (séries alternadas com termos decrescentes em módulo tendendo a zero) essa série converge (condicionalmente). De fato seu somatório é \ln 2, ou seja
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\ln 2.
Conclusão: para f'(x) o ponto x=0 pertence à região de convergência (convergência condicional), enquanto x=2 não pertence.
Portanto o intervalo de convergência de f'(x) é [0,2) (equivalente a |x-1|<1 mais o extremo x=0).
Passo 7
Parte (b): obter série de potências para \int \cos(x^{2})\mathrm{d}x e achar o raio R.
Integrar termo a termo e escrever a série resultante.
Podemos integrar termo a termo dentro do raio de convergência (a série é absolutamente uniforme em qualquer intervalo finito porque \cos é inteira), obtendo uma primitiva indefinida:
\int \cos(x^{2})\mathrm{d}x = C + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\int x^{4n}\mathrm{d}x = C + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!(4n+1)}\,x^{4n+1},
onde C é a constante de integração.
Passo 9
Determinar o raio de convergência da série obtida em (b).
Raciocínio: a série original de \cos(t) tem raio infinito (fatorial no denominador faz convergir para todo t). Substituir t=x^{2} não reduz o raio no sentido real: a série em x tem termos \dfrac{x^{4n}}{(2n)!} e a presença do (2n)! no denominador faz com que, para qualquer x fixo, razão entre termos sucessivos tenda a zero:
o que implica convergência para todo x. Logo o raio de convergência da série de \cos(x^{2}) (e da primitiva obtida integrando termo a termo) é
R=\infty.
Resposta
a) Intervalo de convergência de f(x): [0,2].\n
a) Intervalo de convergência de f'(x): [0,2).\n
b) \displaystyle \int \cos(x^{2})\mathrm{d}x = C + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!(4n+1)}\,x^{4n+1},\qquad R=\infty.