(a) Determine os intervalos de convergência de f(x) e f^{\prime}(x) sabendo que
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{n}}{n^{2}}
(b) Represente em série de potências a integral (6) e determine o raio R de convergência.
\int \cos \left(x^{2}\right) \mathrm{d} x
Note que \cos (x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n)!} x^{2 n}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas distintas:
  • (a) Para a função
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^{n}}{n^{2}}
determinar os intervalos de convergência de f(x) e de f'(x).
  • (b) Representar em série de potências a integral
\int \cos\left(x^{2}\right)\mathrm{d}x
(sabendo que \cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}) e determinar o raio R de convergência da série resultante.
Informações dadas e observações iniciais que vou usar:
  • A série de (a) é uma série de potências centrada em x=1 (termo geral envolve (x-1)^n).
  • A série dada para \cos(x) será usada substituindo x por x^{2} para obter \cos(x^{2}) e então integrar termo a termo.
  • Vou precisar testar convergência interior ao raio e também nos pontos extremos (endpoints).

Passo 2

Encontrar o raio de convergência da série de f(x).
Técnica: para uma série de potências \sum a_n (x-c)^n o raio de convergência R é dado por 1/R=\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}. Aqui a série é
\sum_{n=1}^{\infty} a_n (x-1)^n\quad\text{com}\quad a_n=\frac{1}{n^{2}}.
Calculemos \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}:
|a_n|^{1/n}=\left(\frac{1}{n^{2}}\right)^{1/n}=n^{-2/n}.
Como \lim_{n\to\infty} n^{1/n}=1, segue \lim_{n\to\infty}n^{-2/n}=1. Portanto
\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=1.
Logo 1/R=1 e
R=1.
Explicação didática curta: o coeficiente decresce como 1/n^2 (que é subexponencial), então o raio de convergência é 1. Isso significa convergência absoluta para |x-1|<1 e precisa testar |x-1|=1 separadamente.

Passo 3

Determinar a convergência da série de f(x) nos pontos extremos |x-1|=1.
Os pontos extremos são x-1=\pm1, isto é x=2 e x=0.
  • Em x=2 temos (x-1)^n=1^n=1 e a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}},
que é uma série p-serie com p=2>1. Pelo teste p-série, converge (na verdade converge absolutamente).
  • Em x=0 temos (x-1)^n=(-1)^n e a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.
Tomando valor absoluto obtém-se \sum 1/n^{2}, que converge; portanto a série em x=0 converge absolutamente também.
Conclusão deste passo: a série de f(x) converge absolutamente para |x-1|<1 e converge também em ambos os extremos x=0 e x=2. Assim o conjunto de convergência (intervalo real) é |x-1|\le 1, isto é x\in[0,2].

Passo 4

Derivar termo a termo para obter f'(x) e justificar por que isso é permitido.
A regra geral: dentro do raio de convergência de uma série de potências a série pode ser diferenciada termo a termo, produzindo outra série de potências com o mesmo raio de convergência. Justificativa rápida (intuição): a série converge uniformemente em qualquer intervalo fechado contido em |x-1|<R, o que permite diferenciar termo a termo.
Derivando termo a termo:
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^{n}}{n^{2}} \quad\Rightarrow\quad f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\,(x-1)^{n-1}}{n^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^{n-1}}{n}.
Podemos reindexar para escrever em forma padrão (x-1)^{m}:
fazendo m=n-1 (então n=m+1):
f'(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(x-1)^{m}}{m+1}.

Passo 5

Determinar o raio de convergência de f'(x).
Pelo teorema, a diferenciação de séries de potências preserva o raio de convergência, então o raio de f'(x) também é R=1.
Se preferir ver direto: os coeficientes da série de f'(x) são b_m=\dfrac{1}{m+1}. Calculando \limsup |b_m|^{1/m}=\lim (m+1)^{-1/m}=1, logo raio 1.
Portanto f'(x) converge (ao menos) para |x-1|<1; falta testar extremos x=0 e x=2.

Passo 6

Testar convergência de f'(x) nos extremos x=0 e x=2.
  • Em x=2 temos (x-1)^{n-1}=1^{n-1}=1 e a série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica e diverge. Logo f'(x) diverge em x=2.
  • Em x=0 temos (x-1)^{n-1}=(-1)^{n-1} e a série é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}.
Esta é a série harmônica alternada. Pelo critério de Leibniz (séries alternadas com termos decrescentes em módulo tendendo a zero) essa série converge (condicionalmente). De fato seu somatório é \ln 2, ou seja
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\ln 2.
Conclusão: para f'(x) o ponto x=0 pertence à região de convergência (convergência condicional), enquanto x=2 não pertence.
Portanto o intervalo de convergência de f'(x) é [0,2) (equivalente a |x-1|<1 mais o extremo x=0).

Passo 7

Parte (b): obter série de potências para \int \cos(x^{2})\mathrm{d}x e achar o raio R.
Começo usando a série dada para \cos(t):
\cos(t)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\,t^{2n}.
Substitua t=x^{2}. Então
\cos(x^{2})=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\,(x^{2})^{2n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\,x^{4n}.

Passo 8

Integrar termo a termo e escrever a série resultante.
Podemos integrar termo a termo dentro do raio de convergência (a série é absolutamente uniforme em qualquer intervalo finito porque \cos é inteira), obtendo uma primitiva indefinida:
\int \cos(x^{2})\mathrm{d}x = C + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\int x^{4n}\mathrm{d}x = C + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!(4n+1)}\,x^{4n+1},
onde C é a constante de integração.

Passo 9

Determinar o raio de convergência da série obtida em (b).
Raciocínio: a série original de \cos(t) tem raio infinito (fatorial no denominador faz convergir para todo t). Substituir t=x^{2} não reduz o raio no sentido real: a série em x tem termos \dfrac{x^{4n}}{(2n)!} e a presença do (2n)! no denominador faz com que, para qualquer x fixo, razão entre termos sucessivos tenda a zero:
\left|\frac{x^{4(n+1)}/(2n+2)!}{x^{4n}/(2n)!}\right| =\frac{x^{4}}{(2n+2)(2n+1)}\xrightarrow{n\to\infty}0,
o que implica convergência para todo x. Logo o raio de convergência da série de \cos(x^{2}) (e da primitiva obtida integrando termo a termo) é
R=\infty.

Resposta

a) Intervalo de convergência de f(x): [0,2].\n
a) Intervalo de convergência de f'(x): [0,2).\n
b) \displaystyle \int \cos(x^{2})\mathrm{d}x = C + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!(4n+1)}\,x^{4n+1},\qquad R=\infty.

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