(2,5 pts) Seja \mathbf{f}(x, y, z)=x y e^{z}, \mathbf{F}=\nabla \mathrm{f} e C a curva lisa com parametrização r(t)=(1,1+t, 1+t), 0 \leq t \leq 1. Calcule \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo vindo do enunciado):
  • A função escalar \mathbf{f}(x,y,z)=x y e^{z}.
  • O campo vetorial \mathbf{F} é o gradiente de \mathbf{f}, ou seja \mathbf{F}=\nabla \mathbf{f}.
  • A curva lisa C tem parametrização \mathbf{r}(t)=(1,\,1+t,\,1+t), com 0\le t\le1.
    O que a questão pede: calcular \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 2

Ideia chave (teoria explicada de forma didática): se um campo vetorial \mathbf{F} é o gradiente de uma função escalar \mathbf{f} (ou seja \mathbf{F}=\nabla \mathbf{f}), então \mathbf{F} é um campo conservativo e vale o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para gradientes:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\mathbf{f}\big(\mathbf{r}(b)\big)-\mathbf{f}\big(\mathbf{r}(a)\big),
onde \mathbf{r}(a) e \mathbf{r}(b) são os pontos inicial e final da parametrização de C.
Explicando por que: \nabla \mathbf{f} aponta na direção de maior aumento de \mathbf{f}; a integral de \nabla \mathbf{f} ao longo de uma curva mede exatamente a variação de \mathbf{f} entre os extremos — por isso a integral depende só dos pontos inicial e final, não do caminho.

Passo 3

Vou calcular explicitamente o gradiente para ver sua forma (a prática ajuda na prova).
A definição de gradiente: \nabla \mathbf{f}=(\partial \mathbf{f}/\partial x,\;\partial \mathbf{f}/\partial y,\;\partial \mathbf{f}/\partial z).
Cálculo das derivadas parciais:
\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial x}=y e^{z}, \qquad \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial y}=x e^{z}, \qquad \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial z}=x y e^{z}.
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\mathbf{F}(x,y,z)=\nabla \mathbf{f}(x,y,z)=\big(y e^{z},\; x e^{z},\; x y e^{z}\big).

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha (já que \mathbf{F}=\nabla \mathbf{f}):
  • Primeiro encontro os pontos inicial e final da curva: \mathbf{r}(0)=(1,1,1) e \mathbf{r}(1)=(1,2,2).
  • Avalio \mathbf{f} nesses pontos:
\mathbf{f}\big(\mathbf{r}(1)\big)=\mathbf{f}(1,2,2)=1\cdot 2\cdot e^{2}=2e^{2},
\mathbf{f}\big(\mathbf{r}(0)\big)=\mathbf{f}(1,1,1)=1\cdot 1\cdot e^{1}=e.
  • Portanto, pela propriedade do gradiente,
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\mathbf{f}\big(\mathbf{r}(1)\big)-\mathbf{f}\big(\mathbf{r}(0)\big)=2e^{2}-e.

Passo 5

(Verificação — como fazer na prova caso não lembre diretamente do teorema) — método direto por parametrização:
  • \mathbf{r}'(t)=(0,1,1).
  • \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\big((1+t)e^{1+t},\; e^{1+t},\; (1+t)e^{1+t}\big).
  • Produto escalar:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)=e^{1+t}\big(1+(1+t)\big)=e^{1+t}(2+t).
  • Integrando:
\int_{0}^{1} e^{1+t}(2+t)\,dt.
Uma antiderivada é e^{1+t}(1+t), porque \dfrac{d}{dt}\big[e^{1+t}(1+t)\big]=e^{1+t}(2+t). Assim
\int_{0}^{1} e^{1+t}(2+t)\,dt=\big[e^{1+t}(1+t)\big]_{0}^{1}=2e^{2}-e,
confirmando o resultado do Passo 4.

Resposta

2e^{2}-e

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