(2,5 pts) Seja
e
a curva lisa com parametrização
. Calcule
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo vindo do enunciado):
- A função escalar
. - O campo vetorial
é o gradiente de , ou seja . - A curva lisa
tem parametrização , com .
O que a questão pede: calcular.
Passo 2
Ideia chave (teoria explicada de forma didática): se um campo vetorial
é o gradiente de uma função escalar
(ou seja
), então
é um campo conservativo e vale o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para gradientes:
onde
e
são os pontos inicial e final da parametrização de
.
Explicando por que: aponta na direção de maior aumento de
; a integral de
ao longo de uma curva mede exatamente a variação de
entre os extremos — por isso a integral depende só dos pontos inicial e final, não do caminho.
Explicando por que:
Passo 3
Vou calcular explicitamente o gradiente para ver sua forma (a prática ajuda na prova).
A definição de gradiente: .
Cálculo das derivadas parciais:
A definição de gradiente:
Cálculo das derivadas parciais:
Logo
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha (já que
):
- Primeiro encontro os pontos inicial e final da curva:
e . - Avalio
nesses pontos:
- Portanto, pela propriedade do gradiente,
Passo 5
(Verificação — como fazer na prova caso não lembre diretamente do teorema) — método direto por parametrização:
-
. -
. - Produto escalar:
- Integrando:
Uma antiderivada é
, porque
. Assim
confirmando o resultado do Passo 4.