(2,5 pts) Calcule a integral de linha \int_{C} x^{2} y d s onde C é a curva com parametrizaçäo r(t)=(t, 2 t), 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} x^{2}y\,ds onde a curva C está parametrizada por r(t)=(t,2t) para 0\le t\le1.
Informações dadas:
  • Parametrização: r(t)=(t,2t) com 0\le t\le1.
  • A função a integrar ao longo da curva é x^{2}y.
  • O elemento de comprimento de arco é ds.
  • Pergunta: calcular o valor numérico da integral de linha \displaystyle \int_{C} x^{2}y\,ds.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinho): para uma curva parametrizada por r(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], a integral de linha de uma função escalar f(x,y) em relação ao comprimento de arco é
\int_{C} f(x,y)\,ds = \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\big\lVert r'(t)\big\rVert\,dt.
Aqui:
  • x(t) e y(t) são as componentes da parametrização;
  • r'(t)=\big(x'(t),y'(t)\big) é o vetor velocidade (derivada da parametrização);
  • \big\lVert r'(t)\big\rVert é o módulo desse vetor (a “velocidade” da parametrização);
  • ds=\big\lVert r'(t)\big\rVert dt é a relação que transforma o elemento de comprimento em dt.
Um lembrete intuitivo: se f\equiv1 a integral \int_C 1\,ds dá o comprimento da curva, porque estamos somando pedaços de comprimento ds.

Passo 3

Aplicando à parametrização dada:
  • Temos x(t)=t e y(t)=2t.
  • Substituindo na função: f(x,y)=x^{2}y vira
f\big(x(t),y(t)\big)=\big(t\big)^{2}\cdot\big(2t\big)=2t^{3}.
  • Derivada da parametrização:
r'(t)=\big(x'(t),y'(t)\big)=(1,2).
  • Módulo da velocidade:
\big\lVert r'(t)\big\rVert=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.

Passo 4

Montando a integral usando a fórmula do Passo 2:
\int_{C} x^{2}y\,ds = \int_{0}^{1} \big(2t^{3}\big)\,\big(\sqrt{5}\big)\,dt = 2\sqrt{5}\int_{0}^{1} t^{3}\,dt.
Agora calculamos a integral de potência: a primitiva de t^{3} é \dfrac{t^{4}}{4}, logo
\int_{0}^{1} t^{3}\,dt = \left.\frac{t^{4}}{4}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
Substituindo de volta obtemos a expressão
2\sqrt{5}\cdot\frac{1}{4}.

Passo 5

Simplificando a expressão obtida no passo anterior (fazer a conta algébrica final):
2\sqrt{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{2}{4}\sqrt{5}=\frac{1}{2}\sqrt{5}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{5}}{2}

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