Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
a) f(x)=x^{2}-2 x

Passo 1

O enunciado pede: determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função f dada por
f(x)=x^{2}-2x.
Informações fornecidas:
  • A função é explicitamente f(x)=x^{2}-2x.
  • Não há restrições no enunciado sobre o domínio, portanto o domínio natural é \mathbb{R}.

Passo 2

Estratégia (o que vamos usar e por quê): para saber onde uma função cresce ou decresce, é muito prático analisar o sinal da sua derivada. Vou explicar isso devagarinho.
Conceito e critério:
  • A derivada f'(x) representa a taxa de variação instantânea de f em relação a x; geometricamente é a inclinação da reta tangente ao gráfico.
  • Regra prática de monotonicidade:
    • se f'(x)>0 em um intervalo, então f é crescente nesse intervalo;
    • se f'(x)<0 em um intervalo, então f é decrescente nesse intervalo.
      Vou então calcular f'(x), achar onde ela é zero ou muda de sinal, e a partir daí deduzir os intervalos de crescente/decrescente.

Passo 3

Como calcular a derivada (regra usada):
  • Regra do poder: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Derivada de uma constante multiplicada: \dfrac{d}{dx}[c\cdot g(x)]=c\cdot g'(x).
Aplicando à nossa função:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(-2x\bigr)=-2.
Portanto, a derivada da função é
f'(x)=2x-2.

Passo 4

Encontrar pontos críticos: soluções de f'(x)=0 e pontos onde f' não existe (aqui f' existe para todo x).
Resolver
2x-2=0 \quad\Rightarrow\quad 2x=2 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Então x=1 é o único ponto onde a derivada se anula (possível mudança de monotonicidade).

Passo 5

Análise de sinal de f'(x). Fatorando:
f'(x)=2(x-1).
  • O fator 2 é sempre positivo, então o sinal de f'(x) vem do fator (x-1).
  • Se x<1 então x-1<0 e assim f'(x)<0.
  • Se x>1 então x-1>0 e assim f'(x)>0.
Para dar um exemplo numérico (teste rápido):
f'(0)=2\cdot0-2=-2<0\quad(\text{decrescente em torno de }0),
f'(2)=2\cdot2-2=2>0\quad(\text{crescente em torno de }2).

Passo 6

Conclusão sobre monotonicidade:
  • Em todo o intervalo (-\infty,1) temos f'(x)<0, logo f é decrescente em (-\infty,1).
  • Em todo o intervalo (1,\infty) temos f'(x)>0, logo f é crescente em (1,\infty).
    Além disso, x=1 é um ponto crítico onde a função passa de decrescente para crescente, isto é, um mínimo local; o valor da função nesse ponto é
f(1)=1^{2}-2\cdot1=-1.

Resposta

Decresce em (-\infty,1)
Cresce em (1,\infty)

Exercícios relacionados