Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede: determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função
dada por
Informações fornecidas:
- A função é explicitamente
. - Não há restrições no enunciado sobre o domínio, portanto o domínio natural é
.
Passo 2
Estratégia (o que vamos usar e por quê): para saber onde uma função cresce ou decresce, é muito prático analisar o sinal da sua derivada. Vou explicar isso devagarinho.
Conceito e critério:
- A derivada
representa a taxa de variação instantânea de em relação a ; geometricamente é a inclinação da reta tangente ao gráfico. - Regra prática de monotonicidade:
- se
em um intervalo, então é crescente nesse intervalo; - se
em um intervalo, então é decrescente nesse intervalo.
Vou então calcular, achar onde ela é zero ou muda de sinal, e a partir daí deduzir os intervalos de crescente/decrescente.
- se
Passo 3
Como calcular a derivada (regra usada):
- Regra do poder:
. - Derivada de uma constante multiplicada:
.
Aplicando à nossa função:
Portanto, a derivada da função é
Passo 4
Encontrar pontos críticos: soluções de
e pontos onde
não existe (aqui
existe para todo
).
Resolver
Resolver
Então
é o único ponto onde a derivada se anula (possível mudança de monotonicidade).
Passo 5
Análise de sinal de
. Fatorando:
- O fator
é sempre positivo, então o sinal de vem do fator . - Se
então e assim . - Se
então e assim .
Para dar um exemplo numérico (teste rápido):
Passo 6
Conclusão sobre monotonicidade:
- Em todo o intervalo
temos , logo é decrescente em . - Em todo o intervalo
temos , logo é crescente em .
Além disso,é um ponto crítico onde a função passa de decrescente para crescente, isto é, um mínimo local; o valor da função nesse ponto é
Resposta
Decresce em
Cresce em
Cresce em