Obtenha os limites abaixo, utilizando (sempre que possível) a regra de l’Hôpital:
\lim _{x \rightarrow \infty} x \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede que seja calculado o limite
\lim_{x \rightarrow \infty} x\cdot \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right).
Informações relevantes dadas / observações imediatas:
  • A expressão é um produto entre x e \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right).
  • Quando x\to\infty, tem-se \dfrac{1}{x}\to 0.
  • Vamos aproveitar essa ligação entre x grande e o argumento do seno pequeno.

Passo 2

Reescrevemos o produto como uma razão, que é uma forma útil para aplicar a regra de l’Hôpital:
x\cdot \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right)}{\dfrac{1}{x}}.
Explicação: dividir por \dfrac{1}{x} é a mesma coisa que multiplicar por x, portanto as duas formas são idênticas.

Passo 3

Fazemos a substituição de variável para ficar numa forma padrão:
t=\frac{1}{x}.
Quando x\to\infty temos t\to 0^+. Assim o limite fica
\lim_{x\to\infty} \frac{\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right)}{\dfrac{1}{x}} = \lim_{t\to 0^+} \frac{\operatorname{sen}(t)}{t}.
Observação: a função \dfrac{\operatorname{sen}(t)}{t} tem comportamento simétrico perto de 0, então o limite por t\to 0^+ é o mesmo que por t\to 0.

Passo 4

Aplicamos a regra de l’Hôpital. Primeiro, verificamos as hipóteses:
  • Numerador \operatorname{sen}(t)\to 0 quando t\to 0.
  • Denominador t\to 0 quando t\to 0.
    Portanto temos uma indeterminação do tipo \dfrac{0}{0} e podemos usar l’Hôpital (supondo que as derivadas existam num entorno de 0, o que é verdade aqui). A regra diz que
\lim_{t\to 0} \frac{\operatorname{sen}(t)}{t} = \lim_{t\to 0} \frac{\dfrac{d}{dt}\big(\operatorname{sen}(t)\big)}{\dfrac{d}{dt}(t)} = \lim_{t\to 0} \frac{\cos(t)}{1}.
Aqui usei que \dfrac{d}{dt}\operatorname{sen}(t)=\cos(t) e \dfrac{d}{dt}t=1.

Passo 5

Calculamos o limite da razão de derivadas:
\lim_{t\to 0} \frac{\cos(t)}{1} = \cos(0) = 1.
Portanto
\lim_{t\to 0} \frac{\operatorname{sen}(t)}{t} = 1,
e isso implica que o limite original é 1.

Resposta

1

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