Obtenha os limites abaixo, utilizando (sempre que possível) a regra de l’Hôpital:
Passo 1
O enunciado pede que seja calculado o limite
Informações relevantes dadas / observações imediatas:
- A expressão é um produto entre
e . - Quando
, tem-se . - Vamos aproveitar essa ligação entre
grande e o argumento do seno pequeno.
Passo 2
Reescrevemos o produto como uma razão, que é uma forma útil para aplicar a regra de l’Hôpital:
Explicação: dividir por
é a mesma coisa que multiplicar por
, portanto as duas formas são idênticas.
Passo 3
Fazemos a substituição de variável para ficar numa forma padrão:
Quando
temos
. Assim o limite fica
Observação: a função
tem comportamento simétrico perto de
, então o limite por
é o mesmo que por
.
Passo 4
Aplicamos a regra de l’Hôpital. Primeiro, verificamos as hipóteses:
- Numerador
quando . - Denominador
quando .
Portanto temos uma indeterminação do tipoe podemos usar l’Hôpital (supondo que as derivadas existam num entorno de , o que é verdade aqui). A regra diz que
Aqui usei que
e
.
Passo 5
Calculamos o limite da razão de derivadas:
Portanto
e isso implica que o limite original é
.