Determine os intervalos onde a função é crescente e decrescente, bem como os intervalos de concavidade para cima e para baixo:
f(x)=x^{3}+3 x^{2}-9 x

Passo 1

O enunciado pede para determinar onde a função
f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x
é crescente e decrescente (usando a derivada primeira) e onde é côncava para cima e para baixo (usando a derivada segunda).

Passo 2

Calculamos a derivada primeira:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+3x^{2}-9x\bigr) =3x^{2}+6x-9.
Para achar os pontos críticos, resolvemos f'(x)=0:
3x^{2}+6x-9=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+2x-3=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2} \;=\;-3,\;1.
Como f'(x) é um polinômio de grau 2 com coeficiente de x^2 positivo, seu sinal é:
  • f'(x)>0 em (-\infty,-3) e em (1,\infty),
  • f'(x)<0 em (-3,1).

Passo 3

Calculamos a derivada segunda:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}+6x-9\bigr) =6x+6.
Para achar a mudança de concavidade, resolvemos f''(x)=0:
6x+6=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-1.
O sinal de f''(x) é:
  • f''(x)<0 em (-\infty,-1), indicando concavidade para baixo,
  • f''(x)>0 em (-1,\infty), indicando concavidade para cima.

Resposta

A função é
crescente em (-\infty,-3)\cup(1,\infty)
decrescente em (-3,1)
côncava para baixo em (-\infty,-1)
côncava para cima em (-1,\infty).

Exercícios relacionados