Determine os intervalos onde a função é crescente e decrescente, bem como os intervalos de concavidade para cima e para baixo:
f(x)=x^{4}-4 x^{2}+4

Passo 1

O enunciado pede para determinar os intervalos em que a função
f(x)=x^{4}-4x^{2}+4
é crescente e decrescente, e também onde ela é côncava para cima ou para baixo. Para isso, vamos usar as derivadas primeira (para monotonicidade) e segunda (para concavidade).

Passo 2

Calculemos a derivada primeira:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}-4x^{2}+4\bigr)=4x^{3}-8x=4x\,(x^{2}-2).
Os pontos críticos vêm de f'(x)=0, isto é,
4x\,(x^{2}-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0,\quad x^{2}=2\;\Rightarrow\;x=\pm\sqrt{2}.

Passo 3

Agora analisamos o sinal de f'(x) em cada intervalo determinado por -\infty, -\sqrt{2}, 0, \sqrt{2} e +\infty:
  • Em (-\infty,-\sqrt{2}): escolhe-se, por exemplo, x=-2. Como x<0 e x^{2}-2>0, tem-se f'(x)<0. Logo, ali f é decrescente.
  • Em (-\sqrt{2},0): escolhe-se x=-1. Então x<0 e x^{2}-2<0, logo f'(x)>0. Ali f é crescente.
  • Em (0,\sqrt{2}): escolhe-se x=1. Então x>0 e x^{2}-2<0, logo f'(x)<0. Ali f é decrescente.
  • Em (\sqrt{2},+\infty): escolhe-se x=2. Então x>0 e x^{2}-2>0, logo f'(x)>0. Ali f é crescente.

Passo 4

Calculemos a derivada segunda para ver a concavidade:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}-8x\bigr)=12x^{2}-8.
As possíveis inflexões vêm de f''(x)=0, ou seja,
12x^{2}-8=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=\tfrac{8}{12}=\tfrac{2}{3} \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}.

Passo 5

Analisamos o sinal de f''(x) em torno de -\sqrt{\tfrac{2}{3}} e \sqrt{\tfrac{2}{3}}:
  • Para |x|<\sqrt{\tfrac{2}{3}}: temos x^{2}<\tfrac{2}{3}, logo 12x^{2}-8<0. Assim, f é côncava para baixo nesse intervalo.
  • Para |x|>\sqrt{\tfrac{2}{3}}: temos x^{2}>\tfrac{2}{3}, logo 12x^{2}-8>0. Assim, f é côncava para cima nesses trechos.

Resposta

Crescente em \bigl(-\sqrt{2},0\bigr) e \bigl(\sqrt{2},+\infty\bigr).
Decrescente em \bigl(-\infty,-\sqrt{2}\bigr) e \bigl(0,\sqrt{2}\bigr).
Côncava para cima em \bigl(-\infty,-\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr) e \bigl(\sqrt{\tfrac{2}{3}},+\infty\bigr).
Côncava para baixo em \bigl(-\sqrt{\tfrac{2}{3}},\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr).

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