Determine os intervalos onde a função é crescente e decrescente, bem como os intervalos de concavidade para cima e para baixo:
Passo 1
O enunciado pede para determinar os intervalos em que a função
é crescente e decrescente, e também onde ela é côncava para cima ou para baixo. Para isso, vamos usar as derivadas primeira (para monotonicidade) e segunda (para concavidade).
Passo 2
Calculemos a derivada primeira:
Os pontos críticos vêm de
, isto é,
Passo 3
Agora analisamos o sinal de
em cada intervalo determinado por
,
,
,
e
:
- Em
: escolhe-se, por exemplo, . Como e , tem-se . Logo, ali é decrescente. - Em
: escolhe-se . Então e , logo . Ali é crescente. - Em
: escolhe-se . Então e , logo . Ali é decrescente. - Em
: escolhe-se . Então e , logo . Ali é crescente.
Passo 4
Calculemos a derivada segunda para ver a concavidade:
As possíveis inflexões vêm de
, ou seja,
Passo 5
Analisamos o sinal de
em torno de
e
:
- Para
: temos , logo . Assim, é côncava para baixo nesse intervalo. - Para
: temos , logo . Assim, é côncava para cima nesses trechos.
Resposta
Crescente em
e
.
Decrescente em e
.
Côncava para cima em e
.
Côncava para baixo em .
Decrescente em
Côncava para cima em
Côncava para baixo em