Calcule f^{\prime}(x) :
Calcule f^{\prime}(x) usando a regra da cadeia:
f(x)=\left(x^{2}+1\right)^{5}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \bigl(x^{2}+1\bigr)^{5}
Usaremos a regra da cadeia, pois f é composição de duas funções: uma interna h(x)=x^{2}+1 e uma externa g(u)=u^{5}.

Passo 2

Definimos
h(x) = x^{2}+1, \quad g(u) = u^{5},
de modo que
f(x) = g\bigl(h(x)\bigr).
A regra da cadeia diz que
f'(x) = g'\bigl(h(x)\bigr)\,\cdot\,h'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte:
g'(u) = 5\,u^{4}, \qquad h'(x) = 2\,x.

Passo 4

Substituindo em
f'(x) = g'\bigl(h(x)\bigr)\,h'(x)
temos
f'(x) = 5\bigl(h(x)\bigr)^{4}\,\cdot(2x) = 5\bigl(x^{2}+1\bigr)^{4}\,(2x) = 10\,x\,\bigl(x^{2}+1\bigr)^{4}.

Resposta

f'(x)=10\,x\,\bigl(x^{2}+1\bigr)^{4}.

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