Determine os intervalos onde a função é crescente e decrescente, bem como os intervalos de concavidade para cima e para baixo:
Passo 1
O enunciado pede os intervalos em que a função
é crescente ou decrescente e, em seguida, onde ela é côncava para cima ou para baixo. Para isso vamos usar o teste da primeira derivada (para monotonicidade) e o teste da segunda derivada (para concavidade).
Passo 2
Calculamos a primeira derivada e fatoramos para encontrar os pontos críticos.
As raízes de
são
(com multiplicidade 2),
e
.
Passo 3
Fazemos o estudo de sinal de
nos intervalos determinados pelos pontos críticos
:
- Para
: , , ⇒ produto positivo ⇒ . - Para
: , , ⇒ . - Para
: , , ⇒ . - Para
: , , ⇒ .
Logo,
– é crescente em
e em
.
– é decrescente em
.
–
–
Passo 4
Agora a segunda derivada para concavidade:
Resolvendo
obtemos
e as raízes de
, que são
Passo 5
Estudamos o sinal de
nos intervalos
,
,
e
:
- Em
: e ⇒ . - Em
: e ⇒ . - Em
: e ⇒ . - Em
: e ⇒ .
Portanto,
– é côncava para cima em
e em
.
– é côncava para baixo em
e em
.
–
–
Resposta
A função é crescente em
e
, decrescente em
; é côncava para cima em
e
, e côncava para baixo em
e
.