Determine os intervalos onde a função é crescente e decrescente, bem como os intervalos de concavidade para cima e para baixo:
f(x)=x^{5}-5 x^{4}+5 x^{3}

Passo 1

O enunciado pede os intervalos em que a função
f(x)=x^{5}-5x^{4}+5x^{3}
é crescente ou decrescente e, em seguida, onde ela é côncava para cima ou para baixo. Para isso vamos usar o teste da primeira derivada (para monotonicidade) e o teste da segunda derivada (para concavidade).

Passo 2

Calculamos a primeira derivada e fatoramos para encontrar os pontos críticos.
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}-5x^{4}+5x^{3}\bigr) =5x^{4}-20x^{3}+15x^{2} =5x^{2}(x^{2}-4x+3) =5x^{2}(x-1)(x-3).
As raízes de f'(x)=0 são x=0 (com multiplicidade 2), x=1 e x=3.

Passo 3

Fazemos o estudo de sinal de f'(x) nos intervalos determinados pelos pontos críticos 0,1,3:
  • Para x<0: x^{2}>0, (x-1)<0, (x-3)<0 ⇒ produto positivo ⇒ f'(x)>0.
  • Para 0<x<1: x^{2}>0, (x-1)<0, (x-3)<0 f'(x)>0.
  • Para 1<x<3: x^{2}>0, (x-1)>0, (x-3)<0 f'(x)<0.
  • Para x>3: x^{2}>0, (x-1)>0, (x-3)>0 f'(x)>0.
Logo,
f é crescente em (-\infty,1) e em (3,\infty).
f é decrescente em (1,3).

Passo 4

Agora a segunda derivada para concavidade:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(5x^{2}(x-1)(x-3)\bigr) =20x^{3}-60x^{2}+30x =10x\bigl(2x^{2}-6x+3\bigr).
Resolvendo f''(x)=0 obtemos x=0 e as raízes de 2x^{2}-6x+3=0, que são
x=\frac{3\pm\sqrt{9-6}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Estudamos o sinal de f''(x) nos intervalos (-\infty,0), \bigl(0,\tfrac{3-\sqrt3}2\bigr), \bigl(\tfrac{3-\sqrt3}2,\tfrac{3+\sqrt3}2\bigr) e \bigl(\tfrac{3+\sqrt3}2,\infty\bigr):
  • Em x<0: 10x<0 e 2x^{2}-6x+3>0 f''(x)<0.
  • Em 0<x<\tfrac{3-\sqrt3}2: 10x>0 e 2x^{2}-6x+3>0 f''(x)>0.
  • Em \tfrac{3-\sqrt3}2<x<\tfrac{3+\sqrt3}2: 10x>0 e 2x^{2}-6x+3<0 f''(x)<0.
  • Em x>\tfrac{3+\sqrt3}2: 10x>0 e 2x^{2}-6x+3>0 f''(x)>0.
Portanto,
f é côncava para cima em \bigl(0,\tfrac{3-\sqrt3}2\bigr) e em \bigl(\tfrac{3+\sqrt3}2,\infty\bigr).
f é côncava para baixo em (-\infty,0) e em \bigl(\tfrac{3-\sqrt3}2,\tfrac{3+\sqrt3}2\bigr).

Resposta

A função é crescente em (-\infty,1) e (3,\infty), decrescente em (1,3); é côncava para cima em \bigl(0,\tfrac{3-\sqrt3}2\bigr) e \bigl(\tfrac{3+\sqrt3}2,\infty\bigr), e côncava para baixo em (-\infty,0) e \bigl(\tfrac{3-\sqrt3}2,\tfrac{3+\sqrt3}2\bigr).

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